哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）按提示的思路用两种不同方法证明：
$$
\ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x
$$
其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ．
思路 1：利用定积分的定义；
思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式；
思路 3：其它方法．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：方法1：利用定积分的定义和AM-GM不等式
将区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个子区间，每个子区间长度为 $\Delta x = \frac{1}{n}$，取右端点 $x_i = \frac{i}{n}$，则定积分的定义为：
$$
\int_0^1 f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right).
$$
类似地，
$$
\int_0^1 \ln f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f\left(\frac{i}{n}\right).
$$
公式：定积分定义：$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^n f(a+i\frac{b-a}{n})$
提示：注意区间长度和取点方式，这里取右端点，但取左端点或中点不影响极限。
步骤 2/6
目标：应用AM-GM不等式
由算术-几何平均不等式（AM-GM）：
$$
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \geq \left( \prod_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \right)^{1/n},
$$
两边取对数得：
$$
\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \right) \geq \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln f\left(\frac{i}{n}\right).
$$
公式：AM-GM不等式：$\frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \geq (x_1\cdots x_n)^{1/n}$
提示：注意$f(x)>0$，所以对数有意义。
步骤 3/6
目标：取极限得到不等式
令 $n \to \infty$，由 $\ln$ 的连续性得：
$$
\ln\left( \int_0^1 f(x) \, dx \right) \geq \int_0^1 \ln f(x) \, dx.
$$
公式：对数函数的连续性
提示：极限与对数交换顺序需要连续性保证。
步骤 4/6
目标：方法2：利用积分中值定理和Taylor公式（切线法）
设 $A = \int_0^1 f(x) \, dx$，由积分中值定理，存在 $\xi \in [0,1]$ 使得 $f(\xi) = A$。考虑 $\ln f(x)$ 在 $x = \xi$ 处的一阶Taylor展开（即切线近似）：
$$
\ln f(x) \leq \ln A + \frac{f(x)-A}{A},
$$
因为 $\ln$ 是凹函数，其图像在切线下方。
公式：凹函数的性质：$\ln y \leq \ln y_0 + \frac{y-y_0}{y_0}$
提示：注意$f(x)$不一定可导，但这里只需用到凹函数的切线不等式，严格证明可用凸函数定义。
步骤 5/6
目标：积分得到不等式
对不等式两边在 $[0,1]$ 上积分：
$$
\int_0^1 \ln f(x) \, dx \leq \int_0^1 \left( \ln A + \frac{f(x)-A}{A} \right) dx = \ln A + \frac{1}{A} \int_0^1 (f(x)-A) \, dx.
$$
由于 $\int_0^1 f(x) \, dx = A$，所以 $\int_0^1 (f(x)-A) \, dx = 0$，因此
$$
\int_0^1 \ln f(x) \, dx \leq \ln A = \ln\left( \int_0^1 f(x) \, dx \right).
$$
即原不等式成立。
公式：积分线性性质
提示：注意积分中值定理只保证存在一点函数值等于平均值，但切线不等式对任意$x$成立。
步骤 6/6
目标：等号成立条件
等号成立当且仅当 $f(x)$ 为常数函数。在方法1中，AM-GM等号成立当且仅当所有 $f(i/n)$ 相等，取极限得 $f(x)$ 常数；在方法2中，切线不等式等号成立当且仅当 $f(x)=A$ 恒成立。
提示：注意常数函数满足条件，且是唯一情况。
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