哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
3．求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确问题
题目要求求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式，但未给出数列的具体定义（如递推关系或前几项）。因此，无法直接求解。需要补充数列的递推关系或初始条件。
提示：注意：通项公式的求解必须基于数列的已知信息，如递推公式、前几项或生成函数等。
步骤 2/6
目标：假设递推关系
假设数列 $\{a_n\}$ 满足线性递推关系：$a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$，其中 $p, q$ 为常数，且已知 $a_1, a_2$。
公式：$a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$
提示：递推关系必须明确给出，否则无法求解。
步骤 3/6
目标：求解特征方程
对于递推关系 $a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$，对应的特征方程为 $r^2 - p r - q = 0$。解此方程得到两个特征根 $r_1, r_2$。
公式：$r^2 - p r - q = 0$
提示：特征方程的形式取决于递推关系的系数，注意符号。
步骤 4/6
目标：写出通解形式
若 $r_1 \neq r_2$，则通解为 $a_n = C_1 r_1^{n-1} + C_2 r_2^{n-1}$；若 $r_1 = r_2 = r$，则通解为 $a_n = (C_1 + C_2 (n-1)) r^{n-1}$。
公式：$a_n = C_1 r_1^{n-1} + C_2 r_2^{n-1}$ 或 $a_n = (C_1 + C_2 (n-1)) r^{n-1}$
提示：注意指数是 $n-1$ 还是 $n$，取决于初始条件索引。
步骤 5/6
目标：利用初始条件确定常数
将 $n=1,2$ 代入通解，得到关于 $C_1, C_2$ 的方程组，解出常数。例如，若 $r_1 \neq r_2$，则 $a_1 = C_1 + C_2$，$a_2 = C_1 r_1 + C_2 r_2$。
公式：$\begin{cases} a_1 = C_1 + C_2 \\ a_2 = C_1 r_1 + C_2 r_2 \end{cases}$
提示：确保初始条件与通解形式匹配，注意索引。
步骤 6/6
目标：得到通项公式
将求得的 $C_1, C_2$ 代入通解，即得通项公式。例如，若 $a_1=1, a_2=1, p=1, q=1$，则特征根 $r_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$，解得 $C_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$，$C_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)$，通项为 $a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$。
公式：$a_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$
提示：计算时注意分数和根号的化简。
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