哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）设有按大小排列的 $m$ 个点：$\displaystyle a_{1}^{(1)} \leqslant a_{2}^{(1)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(1)}$ ．用 $\displaystyle \frac{a_{1}^{(1)}+a_{m}^{(1)}}{2}$ 代替 $\displaystyle a_{1}^{(1)}$ 和 $\displaystyle a_{m}^{(1)}$ ，然后再按大小排列，得：$\displaystyle a_{1}^{(2)} \leqslant a_{2}^{(2)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(2)}$ 。再用 $\displaystyle \frac{a_{1}^{(2)}+a_{m}^{(2)}}{2}$ 代替 $\displaystyle a_{1}^{(2)}$ 和 $\displaystyle a_{m}^{(2)}$ ，然后再按大小排列，得： $\displaystyle a_{1}^{(3)} \leqslant a_{2}^{(3)} \leqslant \cdots \leqslant a_{m}^{(3)} \cdots$ ，依次下去，得 $m$ 个点列 $\displaystyle \left\{a_{1}^{(n)}\right\},\left\{a_{2}^{(n)}\right\}, \cdots,\left\{a_{m}^{(n)}\right\}$ ，证明：
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} a_{j}^{(n)}=\frac{a_{1}^{(1)}+a_{2}^{(1)}+\cdots+a_{m}^{(1)}}{m}(j=1,2, \cdots, m)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设定符号与初始条件
设初始点集为 $S_1 = \{a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, \dots, a_m^{(1)}\}$，且 $a_1^{(1)} \leq a_2^{(1)} \leq \dots \leq a_m^{(1)}$。每次操作：取当前最小值和最大值，用它们的平均值替换这两个数，然后重新排序。记第 $n$ 次操作后的点集为 $S_n = \{a_1^{(n)}, a_2^{(n)}, \dots, a_m^{(n)}\}$，其中 $a_1^{(n)} \leq a_2^{(n)} \leq \dots \leq a_m^{(n)}$。
提示：注意每次操作后要重新排序，确保下标对应大小顺序。
步骤 2/5
目标：证明总和不变
每次操作中，被替换的两个数 $a_1^{(n)}$ 和 $a_m^{(n)}$ 的和为 $a_1^{(n)} + a_m^{(n)}$，替换后的两个数均为 $\frac{a_1^{(n)} + a_m^{(n)}}{2}$，它们的和为 $a_1^{(n)} + a_m^{(n)}$。因此，所有 $m$ 个数的总和保持不变。设总和为 $T = \sum_{i=1}^m a_i^{(1)}$，则对任意 $n$，有 $\sum_{i=1}^m a_i^{(n)} = T$。
公式：$\sum_{i=1}^m a_i^{(n)} = T$
提示：替换后两个数相等，但和不变，这是关键。
步骤 3/5
目标：证明极差递减且趋于零
定义极差 $R_n = a_m^{(n)} - a_1^{(n)}$。操作后，新的最小值和最大值可能来自替换后的值或中间值。由于替换后的两个数相等且等于原最小和最大的平均值，因此新集合的最小值 $a_1^{(n+1)} \geq a_1^{(n)}$，最大值 $a_m^{(n+1)} \leq a_m^{(n)}$。具体地，新极差 $R_{n+1} \leq \frac{R_n}{2}$。因为新集合中所有数都在区间 $[a_1^{(n)}, a_m^{(n)}]$ 内，且替换后的两个数位于中点，所以新极差不超过原极差的一半。故 $R_n \to 0$。
公式：$R_{n+1} \leq \frac{R_n}{2}$
提示：注意新极差可能小于一半，因为中间值可能更靠近边界。
步骤 4/5
目标：证明所有点收敛到同一极限
由 $R_n \to 0$ 知，对任意 $i,j$，$|a_i^{(n)} - a_j^{(n)}| \leq R_n \to 0$，因此所有 $a_i^{(n)}$ 趋于同一极限 $L$。
公式：$\lim_{n\to\infty} |a_i^{(n)} - a_j^{(n)}| = 0$
提示：极差趋于零意味着任意两点距离趋于零。
步骤 5/5
目标：证明极限等于平均值
由总和不变，$\sum_{i=1}^m a_i^{(n)} = T$。取极限得 $m L = T$，故 $L = \frac{T}{m} = \frac{a_1^{(1)} + a_2^{(1)} + \dots + a_m^{(1)}}{m}$。因此，对每个 $j=1,2,\dots,m$，有 $\lim_{n \to \infty} a_j^{(n)} = \frac{a_1^{(1)} + a_2^{(1)} + \dots + a_m^{(1)}}{m}$。
公式：$L = \frac{T}{m}$
提示：极限与初始顺序无关，只与总和及个数有关。
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