哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
3．计算
$$
\int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z
$$
其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出曲线参数方程
曲线 $C$ 的参数方程为：
$$x = \sin^{2010} t, \quad y = (2\sin t \cos t)^{1005} = 2^{1005} \sin^{1005} t \cos^{1005} t, \quad z = \cos^{2010} t, \quad t \in [0, 2\pi].$$
提示：注意 $y$ 的表达式化简：$(2\sin t\cos t)^{1005} = 2^{1005} \sin^{1005} t \cos^{1005} t$。
步骤 2/6
目标：计算微分
对参数方程求微分：
$$dx = 2010 \sin^{2009} t \cos t \, dt,$$
$$dy = 1005 \cdot 2^{1005} \sin^{1004} t \cos^{1006} t \, dt - 1005 \cdot 2^{1005} \sin^{1006} t \cos^{1004} t \, dt,$$
$$dz = -2010 \cos^{2009} t \sin t \, dt.$$
公式：微分公式：$d(f(t)) = f'(t) dt$
提示：计算 $dy$ 时使用乘积法则，注意符号。
步骤 3/6
目标：观察曲线闭合性
检查起点和终点：当 $t=0$ 时，$(x,y,z)=(0,0,1)$；当 $t=2\pi$ 时，$(x,y,z)=(0,0,1)$。因此曲线 $C$ 是闭合曲线。
提示：注意 $\sin 0 = 0, \cos 0 = 1$，$\sin 2\pi = 0, \cos 2\pi = 1$。
步骤 4/6
目标：计算向量场的旋度
设向量场 $\mathbf{F} = (y+z, z+x, x+y)$，计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ y+z & z+x & x+y \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial}{\partial y}(x+y) - \frac{\partial}{\partial z}(z+x), \frac{\partial}{\partial z}(y+z) - \frac{\partial}{\partial x}(x+y), \frac{\partial}{\partial x}(z+x) - \frac{\partial}{\partial y}(y+z) \right) = (1-1, 1-1, 1-1) = (0,0,0).$$
公式：旋度公式：$\nabla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right)$
提示：计算偏导数时小心符号，每个分量都是两个偏导之差。
步骤 5/6
目标：应用斯托克斯定理或保守场性质
由于旋度为零，向量场 $\mathbf{F}$ 是保守场（无旋场）。对于保守场，沿任何闭合曲线的线积分为零。因此：
$$\oint_C (y+z) dx + (z+x) dy + (x+y) dz = 0.$$
公式：保守场沿闭合曲线积分为零：$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$
提示：注意：保守场的条件是旋度为零且定义域单连通，这里 $\mathbb{R}^3$ 是单连通的，所以结论成立。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
因此，原积分的值为 $0$。
提示：答案简洁，无需进一步计算。
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