哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
2．记
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}
$$
求 $f(x)$ 的表达式与幂级数的收敛半径；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立生成函数与递推关系
设 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，已知递推关系 $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ 及初始条件 $a_0=0, a_1=1$。
公式：$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$
提示：注意初始条件 $a_0=0$ 和 $a_1=1$ 是斐波那契数列的标准形式。
步骤 2/7
目标：将递推关系转化为关于 $f(x)$ 的方程
对递推关系两边乘以 $x^n$ 并求和：$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n + f(x)$
提示：注意求和指标从 $n=0$ 开始，确保每一项都对应正确的系数。
步骤 3/7
目标：用 $f(x)$ 表示左边求和
左边 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^n = \frac{1}{x^2} \sum_{n=2}^{\infty} a_n x^n = \frac{1}{x^2} (f(x) - a_0 - a_1 x) = \frac{1}{x^2} (f(x) - x)$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+2} x^n = \frac{f(x)-a_0-a_1x}{x^2}$
提示：注意 $a_0=0$，$a_1=1$，所以 $f(x)-a_0-a_1x = f(x)-x$。
步骤 4/7
目标：用 $f(x)$ 表示右边第一项求和
右边第一项 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = \frac{1}{x} (f(x) - a_0) = \frac{1}{x} f(x)$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n = \frac{f(x)-a_0}{x}$
提示：注意 $a_0=0$，所以 $f(x)-a_0 = f(x)$。
步骤 5/7
目标：代入并整理方程
代入得 $\frac{f(x)-x}{x^2} = \frac{f(x)}{x} + f(x)$。两边乘以 $x^2$ 得 $f(x)-x = x f(x) + x^2 f(x)$，即 $f(x)(1-x-x^2) = x$。
公式：$f(x)-x = x f(x) + x^2 f(x)$
提示：移项时注意符号，合并 $f(x)$ 项。
步骤 6/7
目标：解出 $f(x)$ 的表达式
由 $f(x)(1-x-x^2)=x$ 得 $f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$。
公式：$f(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$
提示：分母不为零，即 $1-x-x^2 \neq 0$。
步骤 7/7
目标：求收敛半径
收敛半径由分母的零点决定。解 $1-x-x^2=0$ 得 $x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$。最近奇点距离原点为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，故收敛半径 $R=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
公式：$R = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$
提示：注意取绝对值最小的根，因为收敛半径是到最近奇点的距离。
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