哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
2．计算
$$
\iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为曲面 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别向量场与曲面积分形式
将曲面积分写成向量点积形式：
$$I = \iint_S (x-y+z) \,dy\,dz + (y-z+x) \,dx\,dz + (z-x+y) \,dx\,dy = \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S},$$ 其中向量场 $\mathbf{F} = (x-y+z,\, y-z+x,\, z-x+y)$，$d\mathbf{S} = (dy\,dz,\, dx\,dz,\, dx\,dy)$ 指向外侧。
提示：注意曲面积分中 $dy\,dz$ 对应 $x$ 分量，$dx\,dz$ 对应 $y$ 分量，$dx\,dy$ 对应 $z$ 分量，顺序不能混淆。
步骤 2/7
目标：应用高斯散度定理
由于曲面 $S$ 是封闭的（外表面），由高斯散度定理：
$$I = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV,$$ 其中 $V$ 是 $S$ 所围成的区域。
公式：高斯散度定理：$\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$
提示：使用高斯定理前需确认曲面封闭且方向向外，本题已说明为外表面。
步骤 3/7
目标：计算散度
计算 $\nabla \cdot \mathbf{F}$：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x-y+z) + \frac{\partial}{\partial y}(y-z+x) + \frac{\partial}{\partial z}(z-x+y) = 1+1+1 = 3.$$ 因此 $I = 3 \iiint_V dV = 3 \cdot \text{Vol}(V)$。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
提示：散度计算时注意每个偏导只对对应变量求导，其他变量视为常数。
步骤 4/7
目标：变量代换简化区域
令 $u = x-y+z$，$v = y-z+x$，$w = z-x+y$。则曲面方程变为 $|u|+|v|+|w|=1$，区域 $V$ 对应 $|u|+|v|+|w| \le 1$，这是一个正八面体。
提示：变量代换的目的是将复杂的绝对值方程化为标准形式，注意新变量与原变量的线性关系。
步骤 5/7
目标：计算雅可比行列式
变换的雅可比矩阵为：
$$\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)} = \det\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 4.$$ 因此 $dx\,dy\,dz = \frac{1}{4} du\,dv\,dw$。
公式：雅可比行列式：$\left|\frac{\partial(u,v,w)}{\partial(x,y,z)}\right|$
提示：计算行列式时注意符号，最终取绝对值。本题行列式为4，故体积元变换因子为1/4。
步骤 6/7
目标：计算八面体体积
标准正八面体 $|u|+|v|+|w| \le 1$ 的体积为 $\frac{4}{3}$（可通过积分或公式得到）。因此原区域 $V$ 的体积为：
$$\text{Vol}(V) = \iiint_V dx\,dy\,dz = \iiint_{|u|+|v|+|w| \le 1} \frac{1}{4} du\,dv\,dw = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1}{3}.$$
公式：正八面体体积公式：$\frac{4}{3}a^3$，其中 $a$ 为半轴长（此处 $a=1$）
提示：八面体体积也可通过累次积分计算：$\iiint_{|u|+|v|+|w|\le 1} du\,dv\,dw = 8 \int_0^1 \int_0^{1-u} \int_0^{1-u-v} dw\,dv\,du = \frac{4}{3}$。
步骤 7/7
目标：计算原积分
由 $I = 3 \cdot \text{Vol}(V) = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$。
提示：最终结果简单，但需确保体积计算正确。
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