哈尔滨工业大学 2010年数学分析第0题
📝 题目
2．证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在并求极限值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：定义数列并建立递推关系
设 $y_n = \sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}$（$n$ 重根号），则 $y_1 = \sqrt{2}$，且 $y_{n+1} = \sqrt{2+y_n}$。
公式：$y_{n+1} = \sqrt{2+y_n}$
提示：注意递推关系中的根号包含整个 $2+y_n$，不要写成 $\sqrt{2}+y_n$。
步骤 2/7
目标：证明数列单调递增
用数学归纳法证明 $y_{n+1} > y_n$。当 $n=1$ 时，$y_2 = \sqrt{2+\sqrt{2}} > \sqrt{2} = y_1$。假设 $y_k > y_{k-1}$，则 $y_{k+1} = \sqrt{2+y_k} > \sqrt{2+y_{k-1}} = y_k$，故 $\{y_n\}$ 单调递增。
提示：归纳假设要明确，注意比较时利用根号函数的单调性。
步骤 3/7
目标：证明数列有上界
用数学归纳法证明 $y_n < 2$。$y_1 = \sqrt{2} < 2$。假设 $y_k < 2$，则 $y_{k+1} = \sqrt{2+y_k} < \sqrt{2+2} = 2$，故 $\{y_n\}$ 有上界 $2$。
提示：上界2是猜想的，需验证归纳步骤。注意 $\sqrt{2+2}=2$。
步骤 4/7
目标：应用单调有界定理
由单调递增且有上界，根据单调有界定理，极限 $\lim_{n \to \infty} y_n$ 存在，记为 $L$。
提示：单调有界定理是数列极限存在的重要定理，需确认单调性和有界性均已证明。
步骤 5/7
目标：对递推式取极限
对递推式 $y_{n+1} = \sqrt{2+y_n}$ 两边取极限，得 $L = \sqrt{2+L}$。
公式：$L = \sqrt{2+L}$
提示：取极限时需利用极限的保号性和连续性，注意 $y_n$ 非负。
步骤 6/7
目标：解方程求极限值
将方程 $L = \sqrt{2+L}$ 两边平方得 $L^2 = 2+L$，即 $L^2 - L - 2 = 0$，解得 $L = 2$ 或 $L = -1$。由于 $y_n > 0$，故 $L \geq 0$，舍去 $L = -1$，得 $L = 2$。
公式：$L^2 - L - 2 = 0$
提示：平方可能引入增根，需根据数列非负性舍去负根。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，$\lim_{n \to \infty} y_n = 2$。
提示：最终答案需明确写出极限值。
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