哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
一．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与目标
题目给出：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增，且 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$，$\lim_{x \to \infty} f(x) = A$。要证明 $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$。
提示：注意区分数列极限和函数极限，以及严格递增的含义。
步骤 2/6
目标：反证法假设
假设结论不成立，即 $\lim_{n \to \infty} x_n \neq +\infty$。这意味着存在一个子列 $\{x_{n_k}\}$ 有界，即存在 $M > 0$ 使得 $0 < x_{n_k} \leq M$ 对所有 $k$ 成立。
提示：注意：$x_n$ 是正数，因为定义域是 $(0,+\infty)$。
步骤 3/6
目标：利用单调性得到不等式
由于 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递增，且 $x_{n_k} \leq M$，所以 $f(x_{n_k}) \leq f(M)$。
公式：f(x_{n_k}) \leq f(M)
提示：严格递增意味着 $x_1 < x_2$ 时 $f(x_1) < f(x_2)$，但这里 $x_{n_k} \leq M$，所以 $f(x_{n_k}) \leq f(M)$。
步骤 4/6
目标：分析函数极限的性质
由 $\lim_{x \to \infty} f(x) = A$ 且 $f$ 严格递增，可知 $f(x) < A$ 对所有 $x$ 成立（因为 $f$ 递增趋于 $A$，但有限点处函数值小于极限值）。特别地，$f(M) < A$。
公式：f(M) < A
提示：严格递增且极限为 $A$，则 $f(x) < A$ 对所有 $x$ 成立，因为若存在 $x_0$ 使得 $f(x_0) \geq A$，则当 $x > x_0$ 时 $f(x) \geq f(x_0) \geq A$，与极限为 $A$ 矛盾。
步骤 5/6
目标：结合子列极限得到矛盾
由 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$ 知，其子列 $\{f(x_{n_k})\}$ 也收敛到 $A$，即 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = A$。但由前两步，$f(x_{n_k}) \leq f(M) < A$，所以 $\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) \leq f(M) < A$，这与极限为 $A$ 矛盾。
公式：\lim_{k \to \infty} f(x_{n_k}) = A \quad \text{且} \quad f(x_{n_k}) \leq f(M) < A
提示：注意：子列极限等于原数列极限，但这里不等式导致极限小于 $A$，矛盾。
步骤 6/6
目标：结论
因此假设不成立，故 $\lim_{n \to \infty} x_n = +\infty$。
提示：反证法得证。
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