📝 哈尔滨工业大学 2013年数学分析真题

一．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ．

七．（15 分）（1）求

$$
f(x, y)=\frac{1}{y^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 y^{2}}\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]}
$$

在 $\displaystyle D=\left\{f(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, y>0\right\}$ 上的最值；
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 及其二阶偏导数在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle f(0,0)=0,\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \leqslant 2|x-y|,\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leqslant 2|x-y|$ ，证明：$\displaystyle |f(5,4)| \leqslant 1$ ．

三．（ 15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：
（1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）设 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{n}$ 为方程 $\displaystyle x=\tan x$ 的正根，且 $\displaystyle x_{n}$ 单调递增，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_{n}^{p}}$ 玫散性．

二．（15 分）证明 $\displaystyle f(x)=\ln x$ 在 $\displaystyle \delta>0,[\delta,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)>0, f(1)<0$ ，用两种方法证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi^{2}$ ．

八．（15分）设

$$
f(x)= \begin{cases}x^{4}, & x \in Q \\ 0, & x \in \mathbb{R} \backslash Q\end{cases}
$$

证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 不连续．

六．（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$

在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．

十．（15分）（1）求

$$
\iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $Z$ 为 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而得；
（2）求

$$
\oint(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$

$\displaystyle L=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 逆时针方向为正．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，证明：
（1）若 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ；
（2）证明 $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|\right\}$ ．