哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
三．（ 15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：
（1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）设 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析条件，考虑平凡情况
由条件 $f(0)=0$ 且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，$f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。若 $f(x)\equiv 0$，则任意 $\xi>0$ 都有 $f'(\xi)=0$，结论成立。否则，存在 $x_0>0$ 使得 $f(x_0)\neq 0$。不妨设 $f(x_0)>0$（若为负，考虑 $-f$）。
提示：注意考虑常数函数的情况，避免遗漏
步骤 2/7
目标：利用最大值存在性证明存在导数为零的点
由 $f(0)=0$ 及 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，$f$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，故 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上存在最大值。设最大值点为 $\xi$，则 $f(\xi)\geq f(x_0)>0$，且 $\xi\in(0,+\infty)$（因为 $f(0)=0$ 且 $f(\xi)>0$，$\xi\neq 0$；又 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，故 $\xi$ 不能是无穷远点）。由费马定理，$f'(\xi)=0$。
公式：费马定理：若函数在极值点可导，则导数为零
提示：确保最大值点不是端点，且函数在内部可导
步骤 3/7
目标：构造辅助函数，利用夹逼得到f的极限
对于（2），由条件 $0\leq f(x)\leq \frac{x}{1+x^2}$，且 $\frac{x}{1+x^2}\to 0$ 当 $x\to+\infty$，由夹逼定理得 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$。同时 $f(0)=0$。因此 $f$ 满足（1）的条件，故存在 $\eta\in(0,+\infty)$ 使得 $f'(\eta)=0$。但我们需要证明更强的结论。
公式：夹逼定理
提示：注意验证夹逼条件
步骤 4/7
目标：构造新函数并分析其性质
令 $h(x)=f(x)-\frac{x}{1+x^2}$，则 $h(0)=f(0)-0\leq 0$，$\lim_{x\to+\infty}h(x)=0-0=0$。且由 $f(x)\leq \frac{x}{1+x^2}$ 知 $h(x)\leq 0$ 恒成立。$h(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
提示：注意 $h(x)$ 的非正性
步骤 5/7
目标：考虑h(x)的零点情况
若 $h(x)\equiv 0$，则 $f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，此时 $f'(x)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$，任意 $\xi$ 均成立。否则，存在 $x_0$ 使得 $h(x_0)<0$。
提示：不要遗漏恒为零的情况
步骤 6/7
目标：利用最小值存在性证明导数为零
由于 $h(0)\leq 0$，$\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$，且 $h$ 连续，故 $h$ 在 $[0,+\infty)$ 上有最小值。设最小值点为 $\xi$，则 $h(\xi)<0$，且 $\xi\in(0,+\infty)$（因为 $h(0)\leq 0$，若 $h(0)=0$ 则最小值可能为0，但 $h(\xi)<0$ 故 $\xi\neq 0$；又 $\lim_{x\to+\infty}h(x)=0$，$\xi$ 不能是无穷远点）。由费马定理，$h'(\xi)=0$。
公式：费马定理
提示：确保最小值点不是端点，且函数可导
步骤 7/7
目标：计算导数并得出结论
计算 $h'(x)=f'(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1+x^2}\right)=f'(x)-\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。由 $h'(\xi)=0$ 得 $f'(\xi)=\frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$。
公式：$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1+x^2}\right)=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$
提示：正确求导，注意符号
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