哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
八．（15分）设
$$
f(x)= \begin{cases}x^{4}, & x \in Q \\ 0, & x \in \mathbb{R} \backslash Q\end{cases}
$$
证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 不连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确函数定义和待证结论
函数 $f(x)$ 定义为：当 $x$ 为有理数时 $f(x)=x^4$，当 $x$ 为无理数时 $f(x)=0$。需要证明 $f$ 在 $x=0$ 可导，但在任意 $x \neq 0$ 处不连续。
提示：注意 $f(0)=0$，因为 $0$ 是有理数。
步骤 2/8
目标：证明在 $x=0$ 可导：写出导数定义
由导数定义：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$。
公式：$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$
提示：注意 $f(0)=0$，所以分子就是 $f(h)$。
步骤 3/8
目标：证明在 $x=0$ 可导：估计差商绝对值
对任意 $h \neq 0$，有 $|f(h)| \leq |h|^4$，因为当 $h$ 为有理数时 $f(h)=h^4$，当 $h$ 为无理数时 $f(h)=0$。因此 $\left| \frac{f(h)}{h} \right| \leq |h|^3$。
公式：$\left| \frac{f(h)}{h} \right| \leq |h|^3$
提示：注意 $|h|^4 / |h| = |h|^3$，且 $0/|h|=0$ 也满足不等式。
步骤 4/8
目标：证明在 $x=0$ 可导：取极限得导数
令 $h \to 0$，由夹逼定理得 $\lim_{h \to 0} \left| \frac{f(h)}{h} \right| = 0$，从而 $\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$。所以 $f'(0)=0$，即 $f$ 在 $x=0$ 可导。
公式：$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$
提示：夹逼定理要求不等式两边极限均为0。
步骤 5/8
目标：证明在 $x \neq 0$ 不连续：分情况讨论
取任意 $x_0 \neq 0$。分两种情况：$x_0$ 为有理数或无理数。
提示：注意 $x_0 \neq 0$ 是关键，因为 $0$ 处可导。
步骤 6/8
目标：情况1：$x_0$ 为有理数
若 $x_0 \in \mathbb{Q}$，则 $f(x_0)=x_0^4 \neq 0$。取无理数序列 $\{x_n\} \subset \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ 且 $x_n \to x_0$，则 $f(x_n)=0$，故 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 0 \neq f(x_0)$，所以 $f$ 在 $x_0$ 不连续。
提示：有理数和无理数在实数中稠密，因此可以找到这样的序列。
步骤 7/8
目标：情况2：$x_0$ 为无理数
若 $x_0 \notin \mathbb{Q}$，则 $f(x_0)=0$。取有理数序列 $\{x_n\} \subset \mathbb{Q}$ 且 $x_n \to x_0$，则 $f(x_n)=x_n^4 \to x_0^4 \neq 0$（因为 $x_0 \neq 0$），故 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = x_0^4 \neq 0 = f(x_0)$，所以 $f$ 在 $x_0$ 不连续。
提示：注意 $x_0 \neq 0$ 保证 $x_0^4 \neq 0$。
步骤 8/8
目标：总结结论
综上，$f(x)$ 在 $x=0$ 可导且导数为 $0$，但在任意 $x \neq 0$ 处不连续。
提示：该函数是仅在一点可导的典型例子。
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