哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）证明 $\displaystyle f(x)=\ln x$ 在 $\displaystyle \delta>0,[\delta,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确要证明的结论
题目要求证明：对于任意 $\delta>0$，函数 $f(x)=\ln x$ 在区间 $[\delta,+\infty)$ 上一致连续，而在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。
提示：注意区分一致连续与连续的定义。一致连续要求对任意 $\varepsilon>0$，存在公共的 $\eta>0$ 适用于区间内所有点。
步骤 2/4
目标：证明在 $[\delta,+\infty)$ 上一致连续
对任意 $\varepsilon>0$，取 $\eta = \delta \varepsilon$。对于任意 $x_1, x_2 \in [\delta, +\infty)$，当 $|x_1 - x_2| < \eta$ 时，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $|\ln x_1 - \ln x_2| = \frac{1}{\xi} |x_1 - x_2|$。由于 $\xi \geq \delta$，故 $\frac{1}{\xi} \leq \frac{1}{\delta}$，从而 $|\ln x_1 - \ln x_2| \leq \frac{1}{\delta} |x_1 - x_2| < \frac{\eta}{\delta} = \varepsilon$。因此 $f(x)=\ln x$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上一致连续。
公式：拉格朗日中值定理：$|\ln x_1 - \ln x_2| = \frac{1}{\xi} |x_1 - x_2|$，其中 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间。
提示：注意 $\eta$ 的选取依赖于 $\delta$ 和 $\varepsilon$，不能只取 $\eta=\varepsilon$，因为导数 $1/x$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上有界 $1/\delta$。
步骤 3/4
目标：证明在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续
取 $\varepsilon_0 = 1$。对任意 $\eta > 0$，取正整数 $n$ 充分大使得 $\frac{1}{n} < \eta$，并令 $x_1 = \frac{1}{n}$，$x_2 = \frac{1}{2n}$。则 $|x_1 - x_2| = \frac{1}{2n} < \eta$，但 $|\ln x_1 - \ln x_2| = \left|\ln\frac{1}{n} - \ln\frac{1}{2n}\right| = \ln 2 > 1 = \varepsilon_0$。因此不存在公共的 $\eta>0$ 满足一致连续的定义，故 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。
公式：$\ln\frac{1}{n} - \ln\frac{1}{2n} = \ln 2$
提示：关键在于选取两个点充分接近 $0$，使得函数值的差固定为 $\ln 2$，而两点距离可以任意小。注意 $\varepsilon_0$ 必须取一个固定的正数，这里取 $1$ 即可，因为 $\ln 2 > 1$。
步骤 4/4
目标：总结结论
综合以上两步，$f(x)=\ln x$ 在 $[\delta,+\infty)$（$\delta>0$）上一致连续，在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续。
提示：注意区间端点的影响：在远离0的区间上导数有界，故一致连续；在包含0的区间上导数无界，故非一致连续。
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