哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $\displaystyle x_{n}$ 为方程 $\displaystyle x=\tan x$ 的正根，且 $\displaystyle x_{n}$ 单调递增，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_{n}^{p}}$ 玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定根的存在区间
方程 $x = \tan x$ 的正根位于 $\tan x$ 的每个分支。由于 $\tan x$ 在区间 $(n\pi, n\pi+\frac{\pi}{2})$ 上从 $0$ 单调递增到 $+\infty$，而 $x$ 在该区间内从 $n\pi$ 增加到 $n\pi+\frac{\pi}{2}$，因此存在唯一交点 $x_n$，且 $x_n \in (n\pi, n\pi+\frac{\pi}{2})$。
提示：注意 $\tan x$ 的垂直渐近线位于 $x = n\pi + \frac{\pi}{2}$，根不会超过渐近线。
步骤 2/5
目标：建立根的渐近表达式
由 $x_n = \tan x_n$ 可得 $x_n = n\pi + \arctan x_n$。由于 $x_n \to \infty$，$\arctan x_n \to \frac{\pi}{2}$，故 $x_n = n\pi + \frac{\pi}{2} - \varepsilon_n$，其中 $\varepsilon_n \to 0$。进一步，利用 $\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + o(\frac{1}{x})$，代入得 $x_n = n\pi + \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x_n} + o(\frac{1}{x_n})$，从而 $x_n \sim n\pi$。
公式：$\arctan x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + o(\frac{1}{x})$ 当 $x \to \infty$
提示：注意 $\arctan x$ 的展开式，确保 $\varepsilon_n$ 是 $o(1)$。
步骤 3/5
目标：推导通项等价无穷小
由 $x_n \sim n\pi$ 得 $\frac{1}{x_n^p} \sim \frac{1}{(n\pi)^p}$。即当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{x_n^p}$ 与 $\frac{1}{n^p}$ 同阶。
公式：$x_n \sim n\pi$
提示：等价无穷小替换时需注意 $p$ 为常数，且 $x_n$ 为正。
步骤 4/5
目标：应用比较判别法
由于 $\frac{1}{x_n^p} \sim \frac{1}{(n\pi)^p}$，而 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$ 在 $p>1$ 时收敛，$p \leq 1$ 时发散。由比较判别法的极限形式，$\sum \frac{1}{x_n^p}$ 与 $\sum \frac{1}{n^p}$ 同敛散。
公式：比较判别法：若 $a_n \sim b_n$，则 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散。
提示：确保 $a_n$ 和 $b_n$ 均为正项级数，且极限存在非零常数。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，级数 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x_n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛，当 $p \leq 1$ 时发散。
提示：注意 $p=1$ 时发散，因为调和级数发散。
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