哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
十．（15分）（1）求
$$
\iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $Z$ 为 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而得；
（2）求
$$
\oint(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$
$\displaystyle L=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 逆时针方向为正．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：第一小题：理解曲面Z的几何形状并参数化
曲线为 $x = e^y$，$0 \le y \le a$，绕 $x$ 轴旋转。取参数 $t = y$，$\theta$ 为旋转角，则曲面上一点可表示为：
$$\mathbf{r}(t,\theta) = (e^t,\ t\cos\theta,\ t\sin\theta),\quad t\in[0,a],\ \theta\in[0,2\pi).$$
公式：$$\mathbf{r}(t,\theta) = (e^t,\ t\cos\theta,\ t\sin\theta)$$
提示：注意绕x轴旋转时，y坐标变为径向距离，z坐标由旋转角决定。
步骤 2/7
目标：第一小题：计算曲面的法向量
计算切向量：
$$\mathbf{r}_t = (e^t,\ \cos\theta,\ \sin\theta),\quad \mathbf{r}_\theta = (0,\ -t\sin\theta,\ t\cos\theta).$$
法向量为：
$$\mathbf{r}_t \times \mathbf{r}_\theta = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ e^t & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -t\sin\theta & t\cos\theta \end{vmatrix} = (t,\ -t e^t\cos\theta,\ -t e^t\sin\theta).$$
公式：$$\mathbf{n} = (t,\ -t e^t\cos\theta,\ -t e^t\sin\theta)$$
提示：法向量的方向与参数定向一致，注意计算行列式时不要漏掉负号。
步骤 3/7
目标：第一小题：将曲面积分转化为参数积分
原积分为 $\iint_Z P\,dy\,dz + Q\,dz\,dx + R\,dx\,dy$，其中
$$P = 2(1-x^2),\quad Q = -8xy,\quad R = 4xy.$$
代入参数化 $x=e^t,\ y=t\cos\theta,\ z=t\sin\theta$，得：
$$(P,Q,R) = (2(1-e^{2t}),\ -8e^t t\cos\theta,\ 4e^t t\cos\theta).$$
根据公式，积分等于 $\iint_D (P,Q,R)\cdot\mathbf{n}\,dt\,d\theta$，点乘结果为：
$$2t(1-e^{2t}) + 8e^{2t}t^2\cos^2\theta - 4e^{2t}t^2\cos\theta\sin\theta.$$
公式：$$\iint_Z \cdots = \iint_D \left[2t(1-e^{2t}) + 8e^{2t}t^2\cos^2\theta - 4e^{2t}t^2\cos\theta\sin\theta\right] dt\,d\theta$$
提示：注意将 $x,y,z$ 全部用参数表示，并正确代入 $P,Q,R$。
步骤 4/7
目标：第一小题：先对θ积分
积分区域 $t\in[0,a],\ \theta\in[0,2\pi)$。
- $\int_0^{2\pi} 2t(1-e^{2t})\,d\theta = 4\pi t(1-e^{2t})$。
- $\int_0^{2\pi} 8e^{2t}t^2\cos^2\theta\,d\theta = 8e^{2t}t^2 \cdot \pi = 8\pi e^{2t}t^2$（利用 $\cos^2\theta$ 的积分）。
- $\int_0^{2\pi} -4e^{2t}t^2\cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0$（奇函数周期积分为0）。
对 $\theta$ 积分后得到：
$$4\pi t(1-e^{2t}) + 8\pi e^{2t}t^2.$$
公式：$$\int_0^{2\pi} \cos^2\theta\,d\theta = \pi,\quad \int_0^{2\pi} \cos\theta\sin\theta\,d\theta = 0$$
提示：利用三角函数的正交性简化积分。
步骤 5/7
目标：第一小题：对t积分并化简结果
对 $t$ 积分：
$$I = \int_0^a \left[4\pi t - 4\pi t e^{2t} + 8\pi t^2 e^{2t}\right] dt.$$
分别计算：
- $\int_0^a 4\pi t\,dt = 2\pi a^2$。
- 利用分部积分：$\int t e^{2t}\,dt = \frac{e^{2t}}{4}(2t-1)$，$\int t^2 e^{2t}\,dt = \frac{e^{2t}}{4}(2t^2-2t+1)$。
计算得：
$$\int_0^a (-4\pi t e^{2t} + 8\pi t^2 e^{2t})\,dt = \pi\left[e^{2a}(4a^2-6a+3) - 3\right].$$
加上第一部分，总结果为：
$$I = \pi\left[e^{2a}(4a^2-6a+3) + 2a^2 - 3\right].$$
公式：$$\boxed{\pi\left[e^{2a}(4a^2-6a+3) + 2a^2 - 3\right]}$$
提示：分部积分时注意常数项的处理，代入上下限要仔细。
步骤 6/7
目标：第二小题：应用斯托克斯公式
曲线 $L$ 是平面 $x-y+z=2$ 与圆柱 $x^2+y^2=1$ 的交线，逆时针方向。令向量场 $\mathbf{F} = (z-y,\ x-z,\ x-y)$，计算旋度：
$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ z-y & x-z & x-y \end{vmatrix} = (0,\ 0,\ 2).$$
由斯托克斯公式，曲线积分等于曲面积分：
$$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS,$$
其中 $S$ 是以 $L$ 为边界的曲面（取平面 $x-y+z=2$ 上被 $L$ 所围的部分）。
公式：$$\nabla \times \mathbf{F} = (0,0,2)$$
提示：旋度计算要准确，注意偏导顺序。
步骤 7/7
目标：第二小题：计算曲面积分
曲面 $S$ 是平面 $x-y+z=2$ 上的圆盘（半径为1），法向量方向应与曲线方向符合右手定则。平面法向量为 $(1,-1,1)$，单位化后为 $\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,1)$，但斯托克斯公式中 $\mathbf{n}\,dS = \pm (\text{法向量})\,dxdy$ 等。简便方法：由于旋度只有 $z$ 分量，且平面与 $xy$ 面有夹角，投影到 $xy$ 平面计算。
平面 $z = 2 - x + y$，面积元 $dS = \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2}\,dxdy = \sqrt{1+(-1)^2+1^2}\,dxdy = \sqrt{3}\,dxdy$。
法向量方向：取向上（与曲线逆时针方向一致），则 $\mathbf{n} = \frac{(1,-1,1)}{\sqrt{3}}$。
于是：
$$\iint_S (0,0,2)\cdot \mathbf{n}\,dS = \iint_{x^2+y^2\le 1} 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{3}\,dxdy = 2 \iint_{x^2+y^2\le 1} dxdy = 2\pi.$$
公式：$$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 2\pi$$
提示：注意法向量方向与曲线方向的一致性，投影法可简化计算。
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