哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）（1）求
$$
f(x, y)=\frac{1}{y^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 y^{2}}\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]}
$$
在 $\displaystyle D=\left\{f(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, y>0\right\}$ 上的最值；
（2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 及其二阶偏导数在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle f(0,0)=0,\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \leqslant 2|x-y|,\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leqslant 2|x-y|$ ，证明：$\displaystyle |f(5,4)| \leqslant 1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析函数形式与定义域
给定函数 $f(x, y) = \frac{1}{y^{2}} e^{-\frac{1}{2 y^{2}}[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}]}$，定义域为 $D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2, y > 0 \}$。由于指数函数恒正且系数 $1/y^2 > 0$，故 $f(x, y) > 0$ 在整个区域成立。求最值需先找极值点。
公式：$f(x, y) = \frac{1}{y^{2}} e^{-\frac{1}{2 y^{2}}[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}]}$
提示：注意定义域 $y>0$，函数值恒正，最值可能出现在边界或驻点。
步骤 2/6
目标：求偏导数并找驻点
对 $x$ 求偏导：$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{y^2} e^{-\frac{(x-1)^2+(y-1)^2}{2y^2}} \cdot \left( -\frac{x-1}{y^2} \right)$。令其为零得 $x=1$。
对 $y$ 求偏导时，取对数简化：$\ln f = -2\ln y - \frac{(x-1)^2+(y-1)^2}{2y^2}$。对 $y$ 求导并令为零，代入 $x=1$ 得方程 $2y^2 + y - 1 = 0$，解得正根 $y = \frac{1}{2}$。因此唯一驻点为 $(1, 1/2)$。
公式：$\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{x-1}{y^4} e^{-\frac{(x-1)^2+(y-1)^2}{2y^2}}$，$\frac{\partial \ln f}{\partial y} = -\frac{2}{y} - \frac{y(y-1) - (x-1)^2 - (y-1)^2}{y^3}$
提示：对 $y$ 求导时使用对数求导法可简化计算，注意分母 $y^3$ 的处理。
步骤 3/6
目标：判断最值并计算最大值
当 $y \to 0^+$ 时，无论 $x$ 取值如何，指数部分趋于 $-\infty$，函数值趋于 $0$；当 $y \to +\infty$ 时，系数 $1/y^2 \to 0$，函数值也趋于 $0$。因此函数在边界趋于 $0$，内部唯一驻点 $(1, 1/2)$ 必为最大值点。
计算该点函数值：$f\left(1, \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{(1/2)^2} e^{-\frac{1}{2 \cdot (1/4)} \left[0 + (1/2-1)^2\right]} = 4 e^{-\frac{1}{1/2} \cdot \frac{1}{4}} = 4 e^{-\frac{1}{2}}$。最小值下确界为 $0$，但不可达，故无最小值。
公式：$f\left(1, \frac{1}{2}\right) = 4 e^{-1/2}$
提示：边界分析时需分别考虑 $y \to 0^+$ 和 $y \to +\infty$ 的情况，确保函数值趋于 $0$。
步骤 4/6
目标：第二小题：选择优化路径
已知 $f(0,0)=0$，且 $\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \le 2|x-y|$，$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \le 2|x-y|$。直接沿直线 $(0,0)$ 到 $(5,4)$ 估计得 $|f(5,4)| \le 9$，过于粗糙。
由于梯度限制与 $|x-y|$ 有关，选择路径：先沿直线 $x=y$ 从 $(0,0)$ 到 $(4,4)$，此时 $|x-y|=0$，梯度为零，函数值保持为 $0$。
公式：$\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \le 2|x-y|$，$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \le 2|x-y|$
提示：利用 $|x-y|$ 的零值特性，选择 $x=y$ 路径可避免函数值增加。
步骤 5/6
目标：第二小题：沿第二段路径积分
从 $(4,4)$ 到 $(5,4)$，参数化：$x = 4 + t$，$y = 4$，$t \in [0,1]$。此时 $|x-y| = |(4+t)-4| = t$，故 $\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \le 2t$，$\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \le 2t$。
由梯度基本定理：$f(5,4) = \int_0^1 \left[ \frac{\partial f}{\partial x}(4+t,4) \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y}(4+t,4) \cdot 0 \right] dt = \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x}(4+t,4) dt$。
公式：$f(5,4) = \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x}(4+t,4) dt$
提示：注意第二段路径中 $y$ 不变，$dy=0$，仅需对 $x$ 方向积分。
步骤 6/6
目标：第二小题：估计积分值
利用偏导数的界限：$\left| \frac{\partial f}{\partial x}(4+t,4) \right| \le 2t$，因此
$$|f(5,4)| \le \int_0^1 2t \, dt = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.$$
故 $|f(5,4)| \le 1$ 得证。
公式：$|f(5,4)| \le \int_0^1 2t \, dt = 1$
提示：积分时注意 $t$ 的范围 $[0,1]$，计算简单但需确保路径选择正确。
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