哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$
在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析问题并设定符号
设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} dt$。已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，因此存在常数 $M>0$ 使得对所有 $n$ 有 $|a_n| \leq M$。
提示：注意收敛级数必有界，但 $\sum |a_n|$ 不一定收敛。
步骤 2/7
目标：初步估计通项界
对于 $x \geq 0$，有 $\left|\frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} dt\right| \leq \frac{M}{n!} \int_0^\infty t^n e^{-t} dt = \frac{M}{n!} \Gamma(n+1) = M$。但此界不依赖于 $x$，且 $\sum M$ 发散，故不能直接用 Weierstrass M-判别法。
公式：$\int_0^\infty t^n e^{-t} dt = n!$
提示：Gamma函数性质：$\Gamma(n+1)=n!$。
步骤 3/7
目标：改进估计：利用 $\int_0^x t^n e^{-t} dt \leq n!$
由于 $\int_0^x t^n e^{-t} dt \leq \int_0^\infty t^n e^{-t} dt = n!$，可得 $\left|\frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} dt\right| \leq |a_n|$。但 $\sum |a_n|$ 不一定收敛，仍需进一步处理。
公式：$\int_0^x t^n e^{-t} dt \leq n!$
提示：注意此估计对任意 $x$ 成立，但 $|a_n|$ 的级数可能发散。
步骤 4/7
目标：考虑有限区间上的估计
对任意固定的 $R>0$，考虑 $x \in [0,R]$。此时 $\int_0^x t^n e^{-t} dt \leq \int_0^R t^n dt = \frac{R^{n+1}}{n+1}$。于是 $\left|\frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} dt\right| \leq |a_n| \frac{R^{n+1}}{(n+1)!}$。
公式：$\int_0^x t^n e^{-t} dt \leq \frac{R^{n+1}}{n+1}$ 当 $x \leq R$
提示：利用 $e^{-t} \leq 1$ 放缩。
步骤 5/7
目标：证明级数在 $[0,R]$ 上一致收敛
由于 $|a_n| \leq M$，有 $|a_n| \frac{R^{n+1}}{(n+1)!} \leq M \frac{R^{n+1}}{(n+1)!}$。而级数 $\sum_{n=1}^\infty M \frac{R^{n+1}}{(n+1)!}$ 收敛（指数函数展开），由 Weierstrass M-判别法知原级数在 $[0,R]$ 上一致收敛。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{R^{n+1}}{(n+1)!} = e^R - 1 - R$
提示：Weierstrass M-判别法要求控制级数收敛，这里控制级数是收敛的。
步骤 6/7
目标：由一致收敛性得到连续性
级数的每一项 $\frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} dt$ 在 $[0,R]$ 上连续（作为积分上限函数），且级数一致收敛，故和函数 $f(x)$ 在 $[0,R]$ 上连续。由 $R>0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
提示：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} dt$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上连续。
提示：注意 $x=0$ 处也连续，因为 $f(0)=0$。
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