哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1], f(0)>0, f(1)<0$ ，用两种方法证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\xi^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数
令 $g(x) = f(x) - x^2$。由于 $f(x) \in C[0,1]$，且 $x^2$ 连续，故 $g(x) \in C[0,1]$。
公式：$g(x) = f(x) - x^2$
提示：注意连续函数的和差仍连续。
步骤 2/7
目标：计算端点值（方法一）
计算 $g(0) = f(0) - 0^2 = f(0) > 0$（已知 $f(0)>0$）。计算 $g(1) = f(1) - 1^2 = f(1) - 1$。由于 $f(1) < 0$，故 $f(1)-1 < -1 < 0$，即 $g(1) < 0$。
提示：注意 $f(1)<0$ 但 $g(1)=f(1)-1$，不要误以为 $g(1)=f(1)$。
步骤 3/7
目标：应用介值定理（方法一）
由 $g(0)>0$，$g(1)<0$，且 $g$ 在 $[0,1]$ 上连续，根据介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi^2$。
公式：介值定理：若 $h\in C[a,b]$，$h(a)$ 与 $h(b)$ 异号，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $h(c)=0$。
提示：介值定理要求函数连续且端点值异号，这里 $g(0)>0$，$g(1)<0$，满足条件。
步骤 4/7
目标：构造辅助函数（方法二）
令 $h(x)=f(x)-x^2$，则 $h(x)\in C[0,1]$。
公式：$h(x)=f(x)-x^2$
提示：与方法一相同，只是函数名不同。
步骤 5/7
目标：计算端点值并判断符号（方法二）
$h(0)=f(0)>0$，$h(1)=f(1)-1<0$，所以 $h(0)\cdot h(1)<0$。
提示：注意乘积小于0意味着异号。
步骤 6/7
目标：应用零点定理（方法二）
由 $h(0)\cdot h(1)<0$ 且 $h$ 在 $[0,1]$ 上连续，根据零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $h(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi^2$。
公式：零点定理：若 $h\in C[a,b]$ 且 $h(a)\cdot h(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $h(c)=0$。
提示：零点定理是介值定理的特例，注意条件为乘积小于0。
步骤 7/7
目标：结论
综上，无论用介值定理还是零点定理，均存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $f(\xi)=\xi^2$。
提示：两种方法本质相同，只是叙述方式不同。
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