哈尔滨工业大学 2013年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，证明：
（1）若 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|<\int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ ；
（2）证明 $\displaystyle \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x \leqslant \max \left\{\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x,\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right|\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法证明存在零点
假设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上恒不为零。由于 $f$ 连续，则 $f(x)$ 要么恒正，要么恒负。若 $f(x)>0$，则 $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 |f(x)| dx$，与条件 $\left|\int_0^1 f(x) dx\right| < \int_0^1 |f(x)| dx$ 矛盾；若 $f(x)<0$，则 $\left|\int_0^1 f(x) dx\right| = \int_0^1 |f(x)| dx$，同样矛盾。因此假设不成立，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上必有零点。
提示：注意连续函数在闭区间上恒正或恒负时，绝对值的积分等于积分的绝对值。
步骤 2/5
目标：利用介值定理得到具体零点
由 $f$ 连续且存在零点，根据连续函数介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi)=0$。
提示：零点可能在端点，但题目要求 $\xi \in (0,1)$，需确保零点不在端点。实际上，若零点只在端点，则 $f$ 在内部不变号，仍会导致矛盾，故零点必在内部。
步骤 3/5
目标：分类讨论证明第二部分不等式
令 $M = \max\left\{ \int_0^1 |f'(x)| dx, \left|\int_0^1 f(x) dx\right| \right\}$。分两种情况：
情况1：$\left|\int_0^1 f(x) dx\right| = \int_0^1 |f(x)| dx$，则 $\int_0^1 |f(x)| dx = \left|\int_0^1 f(x) dx\right| \leq M$，不等式成立。
情况2：$\left|\int_0^1 f(x) dx\right| < \int_0^1 |f(x)| dx$，由(1)知存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f(\xi)=0$。
提示：注意分类讨论的完整性，不要遗漏情况。
步骤 4/5
目标：利用牛顿-莱布尼茨公式估计函数值
对任意 $x \in [0,1]$，有 $|f(x)| = |f(x) - f(\xi)| = \left|\int_\xi^x f'(t) dt\right| \leq \int_{\min(x,\xi)}^{\max(x,\xi)} |f'(t)| dt \leq \int_0^1 |f'(t)| dt$。
公式：$f(x)-f(\xi)=\int_\xi^x f'(t) dt$
提示：注意绝对值不等式：$\left|\int_a^b g\right| \leq \int_a^b |g|$。
步骤 5/5
目标：积分得到最终不等式
对 $x$ 在 $[0,1]$ 上积分：$\int_0^1 |f(x)| dx \leq \int_0^1 \left( \int_0^1 |f'(t)| dt \right) dx = \int_0^1 |f'(t)| dt \leq M$。因此不等式成立。
提示：注意内层积分与 $x$ 无关，可直接提出。
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