哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$
在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义函数项级数
设 $f_n(x) = \frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} \, dt$，则 $f(x) = \sum_{n=1}^\infty f_n(x)$。
提示：注意 $f_n(x)$ 的定义中积分上限是 $x$，下限是 $0$。
步骤 2/5
目标：验证每项连续性
对每个固定的 $n$，$\int_0^x t^n e^{-t} \, dt$ 是积分上限函数，关于 $x$ 连续，因此 $f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
提示：积分上限函数的连续性依赖于被积函数的可积性，这里 $t^n e^{-t}$ 在 $[0,x]$ 上连续，所以积分上限函数连续。
步骤 3/5
目标：估计通项上界
由于 $\sum a_n$ 收敛，存在 $M>0$ 使得 $|a_n| \leq M$ 对所有 $n$ 成立。对于 $x \geq 0$，有
$$
\left| \frac{a_n}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} \, dt \right| \leq \frac{|a_n|}{n!} \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt = \frac{|a_n|}{n!} \Gamma(n+1) = |a_n|.
$$
因为 $\int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt = n!$。所以 $|f_n(x)| \leq |a_n|$ 对所有 $x \geq 0$ 成立。
公式：$$\int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt = n!$$
提示：注意 $\int_0^x t^n e^{-t} \, dt \leq \int_0^\infty t^n e^{-t} \, dt$，因此上界估计成立。
步骤 4/5
目标：分析级数一致收敛性
考虑 $b_n(x) = \frac{1}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} \, dt$，则 $f(x) = \sum a_n b_n(x)$。对固定 $x$，$b_n(x)$ 关于 $n$ 单调递减（因为 $\frac{1}{n!} \int_0^x t^n e^{-t} \, dt = P(N \leq x)$ 其中 $N$ 服从 Poisson 分布，但这里可证明 $b_{n+1}(x) \leq b_n(x)$），且 $0 \leq b_n(x) \leq 1$，所以 $\{b_n(x)\}$ 一致有界。由 Abel 判别法：若 $\sum a_n$ 收敛，且 $\{b_n(x)\}$ 对每个 $x$ 单调且一致有界，则 $\sum a_n b_n(x)$ 一致收敛。因此 $\sum f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：Abel 判别法
提示：需要验证 $b_n(x)$ 关于 $n$ 的单调性，可以通过比较 $b_{n+1}(x)$ 与 $b_n(x)$ 的大小，利用分部积分或概率解释。
步骤 5/5
目标：得出连续性结论
由于 $f_n(x)$ 连续，且 $\sum f_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛，所以和函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续。
提示：一致收敛的连续函数项级数的和函数连续。
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