📝 哈尔滨工业大学 2015年数学分析真题
第0题
1．应用有限覆盖定理；
第0题
2．应用致密性原理；
第0题
3．应用区间套定理；
第0题
4．应用 Cauchy 收敛准则；
第0题
5．应用确界存在定理；
第0题
6．应用单调有界原理．
第0题
八．（15 分）设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$
在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t
$$
在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．
第0题
六．（15 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调上升，$\displaystyle f(0)>0, f(1)<1$ ．按提示用两种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi^{2}$. 提示：
第0题
十．（15 分）（1）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内的分段光滑曲线，证明积分
$$
I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y
$$
与 $L$ 的路径无关，并计算 $L$ 从 $\displaystyle (1,1)$ 到 $\displaystyle (2,0.5)$ 时的上述积分．
（2）计算
$$
I=\iint_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle x o y$ 平面的曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成曲面的外侧．
（3）计算
$$
I=\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $L$ 的方向是逆时针方向．
$$
I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y
$$
与 $L$ 的路径无关，并计算 $L$ 从 $\displaystyle (1,1)$ 到 $\displaystyle (2,0.5)$ 时的上述积分．
（2）计算
$$
I=\iint_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle x o y$ 平面的曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成曲面的外侧．
（3）计算
$$
I=\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $L$ 的方向是逆时针方向．
第0题
四．（15 分）设函数 $f$ 于 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导．求证：
（1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ，则存在 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，则存在 $\displaystyle \xi>0$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．
（1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ，则存在 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，则存在 $\displaystyle \xi>0$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．