哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
5．应用确界存在定理；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造集合
设数列 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界。定义集合 $S = \{x_n \mid n \in \mathbb{N}\}$，则 $S$ 非空（因为 $x_1 \in S$）且有上界（由已知条件）。
提示：注意集合 $S$ 是数列所有项的集合，不是部分和或其他。
步骤 2/5
目标：应用确界存在定理
由确界存在定理，非空有上界的实数集 $S$ 必有上确界，记作 $a = \sup S$。
提示：确界存在定理是实数完备性的核心，确保上确界存在。
步骤 3/5
目标：利用上确界的定义
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，由于 $a$ 是 $S$ 的上确界，根据上确界的定义，存在 $N \in \mathbb{N}$ 使得 $x_N > a - \varepsilon$。这是因为 $a - \varepsilon$ 不是 $S$ 的上界。
公式：$\exists N \in \mathbb{N}: x_N > a - \varepsilon$
提示：注意上确界定义：$a$ 是上界且对任意 $\varepsilon>0$，$a-\varepsilon$ 不是上界。
步骤 4/5
目标：利用单调性
由于数列 $\{x_n\}$ 单调递增，当 $n \geq N$ 时，有 $x_n \geq x_N > a - \varepsilon$。同时，因为 $a$ 是 $S$ 的上界，所以 $x_n \leq a$。
公式：$x_n \geq x_N > a - \varepsilon$ 且 $x_n \leq a$
提示：单调递增保证后续项不小于前项。
步骤 5/5
目标：得出收敛结论
因此，当 $n \geq N$ 时，有 $a - \varepsilon < x_n \leq a$，从而 $|x_n - a| < \varepsilon$。由极限定义，$\lim_{n \to \infty} x_n = a$。
公式：$|x_n - a| < \varepsilon$
提示：注意 $x_n \leq a$ 保证了 $x_n - a \leq 0$，但绝对值仍小于 $\varepsilon$。
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