哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设函数 $f$ 于 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导．求证：
（1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ ，则存在 $\displaystyle \xi$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，则存在 $\displaystyle \xi>0$ 使 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明存在导数为零的点
记 $L = f(0) = \lim_{x \to +\infty} f(x)$。若 $f$ 恒等于常数 $L$，则任意点导数均为 $0$，结论成立。否则存在 $x_0 > 0$ 使得 $f(x_0) \neq L$。不妨设 $f(x_0) > L$（若小于则类似）。由极限定义，取 $\varepsilon = \frac{f(x_0)-L}{2} > 0$，存在 $M > x_0$，当 $x > M$ 时 $|f(x)-L| < \varepsilon$，从而 $f(x) < L+\varepsilon < f(x_0)$。于是 $f(0)=L < f(x_0)$ 且 $f(x_0) > f(M)$。由连续函数最值定理，$f$ 在 $[0,M]$ 上的最大值必在 $(0,M)$ 内某点 $\xi$ 处取得，故 $f'(\xi)=0$。
公式：f(0) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = L
提示：注意分类讨论：若函数为常数则显然；否则利用极限不等式构造区间内点取极值。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并分析其性质
令 $g(x) = f(x) - \frac{x}{1+x^2}$，则 $g$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导。由 $0 \le f(x) \le \frac{x}{1+x^2}$ 得 $g(0) = f(0) - 0 \ge 0$，且 $g(x) \le 0$ 对所有 $x \ge 0$ 成立，故 $g(0)=0$。又 $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{1+x^2} = 0$，由夹逼得 $\lim_{x \to +\infty} f(x)=0$，从而 $\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$。
公式：g(x) = f(x) - \frac{x}{1+x^2}
提示：注意 $g(0)=0$ 是由不等式两端同时代入 $x=0$ 得到的。
步骤 3/4
目标：利用最值或零点定理得到导数为零的点
由于 $g(0)=0$，$\lim_{x \to +\infty} g(x)=0$，且 $g(x) \le 0$，若 $g$ 不恒为零，则存在某点 $x_1>0$ 使 $g(x_1)<0$，从而 $g$ 在 $(0,+\infty)$ 内某点 $\xi$ 处取到最小值（负值），故 $g'(\xi)=0$。若 $g$ 恒为零，则 $g'(x)=0$ 处处成立。总之存在 $\xi>0$ 使得 $g'(\xi)=0$。
公式：g'(\xi)=0
提示：最小值点导数为零需保证内点，这里由 $g(0)=0$ 且 $g$ 非正，最小值点不可能在端点。
步骤 4/4
目标：计算导数并得到结论
计算 $\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1+x^2}\right) = \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$。由 $g'(\xi)=0$ 得 $f'(\xi) - \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}=0$，即 $f'(\xi)=\frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}$。
公式：f'(\xi) = \frac{1-\xi^2}{(1+\xi^2)^2}
提示：导数计算时注意商法则，分子分母不要混淆。
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