哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
4．应用 Cauchy 收敛准则；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解Cauchy收敛准则
Cauchy收敛准则：数列$\{x_n\}$收敛当且仅当对任意$\varepsilon>0$，存在正整数$N$，使得当$n,m>N$时，有$|x_n-x_m|<\varepsilon$。
提示：注意$n$和$m$是任意大于$N$的正整数，不要求$n>m$，但通常假设$n>m$以便于放缩。
步骤 2/6
目标：利用条件进行放缩
已知$|x_{n+1}-x_n|\leq\frac{1}{2^n}$。对于任意$n>m$，有
$$|x_n-x_m|\leq\sum_{k=m}^{n-1}|x_{k+1}-x_k|\leq\sum_{k=m}^{n-1}\frac{1}{2^k}.$$
公式：三角不等式：$|x_n-x_m|\leq\sum_{k=m}^{n-1}|x_{k+1}-x_k|$
提示：注意求和是从$k=m$到$n-1$，共$n-m$项。
步骤 3/6
目标：放缩为无穷级数
由于$\frac{1}{2^k}>0$，有
$$\sum_{k=m}^{n-1}\frac{1}{2^k}\leq\sum_{k=m}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1/2^m}{1-1/2}=\frac{1}{2^{m-1}}.$$
公式：等比数列求和：$\sum_{k=m}^{\infty}\frac{1}{2^k}=\frac{1/2^m}{1-1/2}=\frac{1}{2^{m-1}}$
提示：注意等比数列首项为$1/2^m$，公比为$1/2$。
步骤 4/6
目标：确定$N$的取值
对任意$\varepsilon>0$，取$N=\lceil\log_2\frac{1}{\varepsilon}\rceil+1$，则当$m\geq N$时，有$\frac{1}{2^{m-1}}\leq\frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon$。
公式：由$\frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon$解得$N>\log_2\frac{1}{\varepsilon}+1$，取整加1。
提示：注意取整函数$\lceil\cdot\rceil$表示向上取整，确保$N$是整数且满足不等式。
步骤 5/6
目标：验证Cauchy条件
当$n>m\geq N$时，结合以上放缩得
$$|x_n-x_m|\leq\frac{1}{2^{m-1}}\leq\frac{1}{2^{N-1}}<\varepsilon.$$
因此，对任意$\varepsilon>0$，存在$N$，使得当$n,m>N$时，$|x_n-x_m|<\varepsilon$。
提示：注意这里$n>m$，但由对称性，当$m>n$时类似，所以只需考虑$n>m$即可。
步骤 6/6
目标：得出结论
由Cauchy收敛准则，数列$\{x_n\}$收敛。
提示：Cauchy收敛准则是实数完备性的体现，常用于证明数列收敛而不需要知道极限值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。