哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
6．应用单调有界原理．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明数列单调递增
用数学归纳法证明。当 $n=1$ 时，$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$，显然 $x_2 > x_1$。假设 $x_k > x_{k-1}$，则 $x_{k+1}=\sqrt{2+x_k} > \sqrt{2+x_{k-1}}=x_k$，故 $x_{n+1} > x_n$ 对所有 $n$ 成立。
提示：注意归纳假设的运用，递推关系中的函数 $f(x)=\sqrt{2+x}$ 是增函数，因此单调性保持。
步骤 2/6
目标：证明数列有上界
用数学归纳法证明 $x_n < 2$。当 $n=1$ 时，$x_1=\sqrt{2} < 2$。假设 $x_k < 2$，则 $x_{k+1}=\sqrt{2+x_k} < \sqrt{2+2}=2$，故 $x_n < 2$ 对所有 $n$ 成立。
提示：上界2是通过解方程 $a=\sqrt{2+a}$ 得到的，注意验证初始值也小于2。
步骤 3/6
目标：应用单调有界原理
由前两步知数列 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界，根据单调有界原理，数列收敛。设极限为 $a$，即 $\lim_{n\to\infty} x_n = a$。
提示：单调有界原理是数列收敛的充分条件，注意检查单调性和有界性均成立。
步骤 4/6
目标：对递推式取极限
对递推式 $x_{n+1} = \sqrt{2 + x_n}$ 两边取极限，得 $a = \sqrt{2 + a}$。
公式：$\lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{2+x_n} = \sqrt{2+\lim_{n\to\infty} x_n}$
提示：取极限时需利用极限的运算性质，注意根号函数的连续性。
步骤 5/6
目标：解方程求极限值
将方程 $a = \sqrt{2 + a}$ 两边平方得 $a^2 = 2 + a$，即 $a^2 - a - 2 = 0$。解得 $a = 2$ 或 $a = -1$。由于 $x_n > 0$，故 $a = 2$。
公式：$a^2 - a - 2 = 0$
提示：平方可能引入增根，需根据数列的正性舍去负根。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限为 $2$。
提示：最终答案需明确写出极限值。
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