哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调上升，$\displaystyle f(0)>0, f(1)<1$ ．按提示用两种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ 使 $\displaystyle f(\xi)=\xi^{2}$. 提示：
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并利用连续函数介值定理（方法一）
定义辅助函数 $g(x) = f(x) - x^2$。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上单调上升，但题目未明确说明 $f$ 连续，此处先按 $f$ 连续的情形处理（后续方法二将不依赖连续性）。计算端点值：$g(0) = f(0) - 0 > 0$，$g(1) = f(1) - 1 < 0$。由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $g(\xi) = 0$，即 $f(\xi) = \xi^2$。
公式：$g(x)=f(x)-x^2$，$g(0)>0$，$g(1)<0$
提示：注意：若 $f$ 不连续，则不能直接使用介值定理，需换用方法二。
步骤 2/5
目标：利用单调性和确界原理构造上确界（方法二）
考虑集合 $A = \{ x \in [0,1] \mid f(x) > x^2 \}$。由 $f(0) > 0 = 0^2$ 知 $0 \in A$，故 $A$ 非空且有上界 $1$。令 $\xi = \sup A$，则 $\xi \in [0,1]$。
公式：$\xi = \sup\{x \in [0,1] \mid f(x) > x^2\}$
提示：确界的存在性依赖于实数完备性，无需函数连续。
步骤 3/5
目标：证明 $\xi < 1$ 并得到 $f(\xi) \leq \xi^2$
反证：若 $\xi = 1$，则对任意 $x < 1$，若 $x \in A$ 有 $f(x) > x^2$。由单调性，$f(1) \geq \lim_{x \to 1^-} f(x) \geq \lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$，与 $f(1) < 1$ 矛盾，故 $\xi < 1$。对任意 $x > \xi$，由 $\xi$ 为上确界知 $x \notin A$，即 $f(x) \leq x^2$。由单调性，$f(\xi) \leq f(x) \leq x^2$，令 $x \to \xi^+$ 得 $f(\xi) \leq \xi^2$。
公式：$f(\xi) \leq \xi^2$
提示：注意 $x \to \xi^+$ 时极限的保序性。
步骤 4/5
目标：证明 $f(\xi) \geq \xi^2$
取一列 $x_n \in A$ 使得 $x_n \to \xi^-$（由 $\xi$ 为上确界，这样的序列存在）。对每个 $x_n$ 有 $f(x_n) > x_n^2$。由 $f$ 单调上升，$f(\xi) \geq f(x_n) > x_n^2$。令 $n \to \infty$，得 $f(\xi) \geq \xi^2$。
公式：$f(\xi) \geq \xi^2$
提示：序列逼近是处理上确界的关键技巧。
步骤 5/5
目标：综合得出等式并确认 $\xi \in (0,1)$
由 $f(\xi) \leq \xi^2$ 和 $f(\xi) \geq \xi^2$ 得 $f(\xi) = \xi^2$。又 $\xi \in (0,1)$（因为 $\xi < 1$ 已证，且 $\xi > 0$ 可由 $0 \in A$ 及 $\xi$ 为上确界推出），结论成立。
公式：$f(\xi) = \xi^2$，$\xi \in (0,1)$
提示：注意 $\xi$ 不能等于 $0$，否则 $f(0)=0$ 与 $f(0)>0$ 矛盾。
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