哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
十．（15 分）（1）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内的分段光滑曲线，证明积分
$$
I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y
$$
与 $L$ 的路径无关，并计算 $L$ 从 $\displaystyle (1,1)$ 到 $\displaystyle (2,0.5)$ 时的上述积分．
（2）计算
$$
I=\iint_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle x o y$ 平面的曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成曲面的外侧．
（3）计算
$$
I=\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $L$ 的方向是逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：判断积分与路径无关
设 $P(x,y) = y^{-1}(1+y^2 f(xy))$, $Q(x,y) = x y^{-2}(y^2 f(xy)-1)$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = -y^{-2}(1+y^2 f) + y^{-1}(2y f + y^2 f' \cdot x) = -y^{-2} - f + 2f + x y f' = y^{-2}(-1) + f + x y f'$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = y^{-2}(y^2 f -1) + x y^{-2} y^2 f' \cdot y = f - y^{-2} + x y f'$$
由于 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，积分与路径无关。
公式：$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$
提示：注意复合函数求导：$f(xy)$ 对 $y$ 求导得 $f' \cdot x$，对 $x$ 求导得 $f' \cdot y$。
步骤 2/7
目标：选择路径并计算水平段积分
取路径：从 $(1,1)$ 到 $(2,1)$ 水平线段，再到 $(2,0.5)$ 竖直线段。水平段：$y=1$, $dy=0$, $x$ 从 $1$ 到 $2$，
$$I_1 = \int_1^2 1^{-1}(1+1^2 f(x)) dx = \int_1^2 (1+f(x)) dx = 1 + \int_1^2 f(x) dx$$
公式：$$\int_L P dx + Q dy = \int P dx \text{（当 } dy=0\text{）}$$
提示：注意 $y=1$ 代入时 $f(xy)=f(x)$。
步骤 3/7
目标：计算竖直线段积分
竖直线段：$x=2$, $dx=0$, $y$ 从 $1$ 到 $0.5$，
$$I_2 = \int_1^{0.5} 2 y^{-2}(y^2 f(2y)-1) dy = 2 \int_1^{0.5} (f(2y) - y^{-2}) dy$$
令 $u=2y$, $dy=du/2$, 当 $y=1$ 时 $u=2$, $y=0.5$ 时 $u=1$，
$$I_2 = 2 \int_2^1 (f(u) - (u/2)^{-2}) \frac{du}{2} = \int_2^1 f(u) du - \int_2^1 4 u^{-2} du = -\int_1^2 f(u) du - \left[ -4 u^{-1} \right]_2^1 = -\int_1^2 f(u) du + (4-2) = -\int_1^2 f(u) du + 2$$
公式：$$\int_a^b f(2y) dy = \frac12 \int_{2a}^{2b} f(u) du$$
提示：注意积分限变化：$y$ 从 $1$ 到 $0.5$ 对应 $u$ 从 $2$ 到 $1$，需交换上下限。
步骤 4/7
目标：求和得到积分值
总积分：
$$I = I_1 + I_2 = 1 + \int_1^2 f(x) dx - \int_1^2 f(u) du + 2 = 3$$
提示：注意两个积分抵消，结果与 $f$ 无关。
步骤 5/7
目标：应用高斯公式计算曲面积分
曲面 $\Sigma$ 由 $x=e^y$ ($0\le y\le a$) 绕 $x$ 轴旋转而成，外侧。利用高斯公式：
$$\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \iiint_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$
其中 $P=2(1-x^2)$, $Q=8xy$, $R=-4xz$。散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} = -4x, \quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 8x, \quad \frac{\partial R}{\partial z} = -4x$$
和为 $0$，所以曲面积分为 $0$。
公式：高斯公式：$$\iint_\Sigma \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV$$
提示：注意曲面外侧对应法向量向外，高斯公式直接适用。
步骤 6/7
目标：应用斯托克斯公式计算曲线积分
曲线 $L$: $x^2+y^2=1$, $x-y+z=2$，方向从 $z$ 轴正向看逆时针。利用斯托克斯公式：
$$\oint_L P dx + Q dy + R dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) dz dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy$$
其中 $P=z-y$, $Q=x-z$, $R=x-y$。计算旋度：
$$\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = -1 - (-1) = 0$$
$$\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 1 - 1 = 0$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$$
所以曲线积分等于 $\iint_S 2 dx dy$。
公式：斯托克斯公式：$$\oint_L \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$
提示：注意方向：逆时针方向对应法向量向上，$dxdy$ 前为正。
步骤 7/7
目标：计算投影区域面积
$L$ 在平面 $x-y+z=2$ 上，投影到 $xoy$ 平面是圆 $x^2+y^2=1$，方向与 $L$ 方向一致（逆时针对应法向量向上）。因此：
$$I = \iint_{x^2+y^2\le 1} 2 dx dy = 2 \cdot \pi \cdot 1^2 = 2\pi$$
公式：$$\iint_{x^2+y^2\le 1} dx dy = \pi$$
提示：注意投影区域是单位圆盘，面积 $\pi$。
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