哈尔滨工业大学 2015年数学分析第0题
📝 题目
1．应用有限覆盖定理；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用连续性得到局部邻域
由$f(x)$在$[a,b]$上连续，对任意$x_0 \in [a,b]$，任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta_{x_0} > 0$，使得当$x \in (x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0}) \cap [a,b]$时，有$|f(x) - f(x_0)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
提示：注意邻域是开区间，且要与闭区间取交集。
步骤 2/6
目标：构造开覆盖并应用有限覆盖定理
考虑开区间族$\{ (x - \frac{\delta_x}{2}, x + \frac{\delta_x}{2}) \mid x \in [a,b] \}$，它们覆盖了闭区间$[a,b]$。由有限覆盖定理，存在有限个开区间覆盖$[a,b]$，记为$\{ (x_i - \frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i + \frac{\delta_{x_i}}{2}) \mid i=1,2,\dots,n \}$。
提示：注意开区间半径取$\frac{\delta_x}{2}$而不是$\delta_x$，这是为了后续得到$\delta$时能保证$u,v$落在同一个$\delta_x$邻域内。
步骤 3/6
目标：定义全局一致连续的$\delta$
取$\delta = \min\{ \frac{\delta_{x_1}}{2}, \frac{\delta_{x_2}}{2}, \dots, \frac{\delta_{x_n}}{2} \} > 0$。
提示：最小值的存在性由有限个正数保证，注意$\delta$必须为正。
步骤 4/6
目标：证明任意两点$u,v$满足$|u-v|<\delta$时落在同一个邻域内
对任意$u, v \in [a,b]$满足$|u - v| < \delta$，则存在某个$i$使得$u \in (x_i - \frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i + \frac{\delta_{x_i}}{2})$。于是$|u - x_i| < \frac{\delta_{x_i}}{2}$，且$|v - x_i| \leq |v - u| + |u - x_i| < \delta + \frac{\delta_{x_i}}{2} \leq \frac{\delta_{x_i}}{2} + \frac{\delta_{x_i}}{2} = \delta_{x_i}$。因此$u, v$都在区间$(x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$内。
提示：注意三角不等式的使用，以及$\delta \leq \frac{\delta_{x_i}}{2}$的推导。
步骤 5/6
目标：利用连续性得到函数值差小于$\varepsilon$
由连续性，$|f(u) - f(x_i)| < \frac{\varepsilon}{2}$，$|f(v) - f(x_i)| < \frac{\varepsilon}{2}$，从而$|f(u) - f(v)| \leq |f(u) - f(x_i)| + |f(v) - f(x_i)| < \varepsilon$。
提示：注意三角不等式放缩，以及$\frac{\varepsilon}{2}$的选取。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使得对任意$u, v \in [a,b]$，当$|u - v| < \delta$时，有$|f(u) - f(v)| < \varepsilon$，即$f(x)$在$[a,b]$上一致连续。
提示：注意一致连续的定义：$\delta$只依赖于$\varepsilon$，不依赖于点的位置。
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