哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明极限存在
由于 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上单调递增且有上界，根据单调有界定理，极限 $\lim_{x\to +\infty} f(x)$ 存在，记为 $L$。
提示：注意单调递增且有上界是极限存在的充分条件。
步骤 2/7
目标：利用极限控制远端函数值差
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，$|f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{2}$。于是对任意 $x, y > M$，有 $|f(x) - f(y)| \leq |f(x)-L| + |f(y)-L| < \varepsilon$。
公式：$|f(x)-f(y)| \leq |f(x)-L|+|f(y)-L|$
提示：注意三角不等式的应用，以及 $\varepsilon/2$ 的选取。
步骤 3/7
目标：考虑闭区间上的一致连续性
考虑闭区间 $[a, M+1]$，$f(x)$ 在该区间上连续，从而一致连续。故存在 $\delta_1 > 0$，使得对任意 $x, y \in [a, M+1]$，当 $|x-y| < \delta_1$ 时，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
提示：闭区间上连续函数一致连续是经典结论。
步骤 4/7
目标：构造全局的 $\delta$
取 $\delta = \min\{\delta_1, 1\}$。对任意 $x, y \in [a, +\infty)$ 且 $|x-y| < \delta$，分两种情况讨论。
提示：取 $\delta$ 为两个数的较小者，确保同时满足两个条件。
步骤 5/7
目标：情况一：两点都在闭区间内
若 $x, y \in [a, M+1]$，则由 $\delta_1$ 的定义，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
提示：注意 $\delta \leq \delta_1$。
步骤 6/7
目标：情况二：至少一点大于 $M$
若 $x, y$ 中至少有一个大于 $M$，由于 $|x-y| < 1$，则两者均大于 $M$（因为若 $x \leq M$，则 $y < x+1 \leq M+1$，但 $y > M$ 时 $y$ 在 $(M, M+1]$ 内，而 $x$ 可能小于 $M$？实际上需更严谨：若 $x \leq M$ 且 $y > M$，则 $y - x < 1$ 推出 $y < x+1 \leq M+1$，所以 $y \in (M, M+1]$，但此时 $x \in [a, M]$，两者都在 $[a, M+1]$ 内，属于情况一。因此，只有当 $x, y$ 都大于 $M$ 时才可能不在 $[a, M+1]$ 内。故此时 $x, y > M$，由第二步得 $|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。
提示：注意逻辑推理：若至少一点大于 $M$，且 $|x-y|<1$，则两点都大于 $M$ 或都在 $[a, M+1]$ 内。但若一点大于 $M$ 另一点小于等于 $M$，则两点都在 $[a, M+1]$ 内，已包含在情况一。所以只需考虑两点都大于 $M$ 的情形。
步骤 7/7
目标：结论
因此，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x, y \in [a, +\infty)$，当 $|x-y| < \delta$ 时，$|f(x)-f(y)| < \varepsilon$。故 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。
提示：一致连续的定义：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得任意两点距离小于 $\delta$ 时函数值差小于 $\varepsilon$。
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