📝 哈尔滨工业大学 2023年数学分析真题

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是：对任意的正整数 $p$ ，有

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0
$$

3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。

4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

5．已知二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．

1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

2．若积分 $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 至少有两个零点．

六、证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(\frac{n+1}{n}\right)}\right)$ 收玫，并且其级数和小于1．

十、计算曲面积分

$$
\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}+x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$

其中 $\displaystyle \sum$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},(a>0)$ ，方向向上。

四、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续且有界，证明：$\displaystyle f(g(x))$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，若去掉＂$\displaystyle g(x)$ 有界＂，则 $\displaystyle f(g(x))$ 是否一致连续？正确请给出证明，错误请给出反例。