哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
5．已知二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题并判断正误
题目说：若二元函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则 $f(x,y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续。这是一个常见的误解，实际上偏导数存在不能保证连续性。我们需要构造反例来证明命题错误。
提示：注意：一元函数中可导必连续，但多元函数中偏导数存在不能推出连续。
步骤 2/6
目标：构造反例函数
考虑函数
\[ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & (x,y) \neq (0,0) \\ 0, & (x,y) = (0,0) \end{cases} \]
这个函数在除原点外有定义，原点处定义为0。
提示：反例函数通常选择在原点处有奇异性，但沿坐标轴方向值为0。
步骤 3/6
目标：计算偏导数 $f_x(0,0)$
根据偏导数定义：
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h} \]
代入 $f(h,0) = \frac{h \cdot 0}{h^2+0^2} = 0$，$f(0,0)=0$，得
\[ f_x(0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{0-0}{h} = 0 \]
公式：偏导数定义：$f_x(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$
提示：注意：沿x轴方向，函数值恒为0，所以偏导数为0。
步骤 4/6
目标：计算偏导数 $f_y(0,0)$
类似地，
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0,k) - f(0,0)}{k} \]
代入 $f(0,k) = \frac{0 \cdot k}{0^2+k^2}=0$，得
\[ f_y(0,0) = \lim_{k \to 0} \frac{0-0}{k} = 0 \]
公式：偏导数定义：$f_y(x_0,y_0) = \lim_{k\to 0} \frac{f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0)}{k}$
提示：沿y轴方向，函数值也为0，所以偏导数为0。
步骤 5/6
目标：验证函数在(0,0)处不连续
考虑沿直线 $y=x$ 趋于 $(0,0)$：
\[ \lim_{t \to 0} f(t,t) = \lim_{t \to 0} \frac{t \cdot t}{t^2 + t^2} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2}{2t^2} = \frac{1}{2} \]
而 $f(0,0)=0$，所以极限值不等于函数值，因此函数在 $(0,0)$ 处不连续。
公式：函数连续定义：$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)$
提示：沿不同路径趋于原点时，极限值不同，说明极限不存在，从而不连续。
步骤 6/6
目标：得出结论
该反例中，两个偏导数都存在（均为0），但函数在 $(0,0)$ 处不连续。因此原命题错误。
提示：记住：多元函数中偏导数存在只是连续的必要条件，而非充分条件。
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