哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
十、计算曲面积分
$$
\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}+x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\displaystyle \sum$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},(a>0)$ ，方向向上。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：补面构造封闭曲面
由于原曲面 $\Sigma$ 是上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$，方向向上，不封闭，无法直接应用高斯公式。补上平面 $\Sigma_1: z=0, x^2+y^2\leq a^2$，方向向下。则 $\Sigma\cup\Sigma_1$ 构成封闭曲面，方向外侧。
提示：注意补面的方向必须与封闭曲面的外侧一致，这里上半球面方向向上，补面应取向下才能构成外侧。
步骤 2/6
目标：应用高斯公式
设 $P=xy^2+z^3$, $Q=yz^2+x^3$, $R=zx^2+a^3$。由高斯公式：
$$
\iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z+Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x+R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)\mathrm{d}V,
$$
其中 $V$ 是上半球体 $x^2+y^2+z^2\leq a^2, z\geq 0$。
公式：高斯公式：$\iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,\mathrm{d}V$
提示：注意高斯公式要求曲面外侧，这里封闭曲面方向为外侧，符合条件。
步骤 3/6
目标：计算散度
计算散度：
$$
\frac{\partial P}{\partial x}=y^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=z^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=x^2,
$$
所以散度为 $x^2+y^2+z^2$。
提示：偏导数计算要仔细，$R$ 中 $a^3$ 是常数，导数为0。
步骤 4/6
目标：计算三重积分
使用球坐标：$x=r\sin\theta\cos\varphi$, $y=r\sin\theta\sin\varphi$, $z=r\cos\theta$，$0\leq r\leq a$, $0\leq\theta\leq\pi/2$, $0\leq\varphi\leq 2\pi$，体积元 $\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi$，被积函数 $x^2+y^2+z^2=r^2$。则
$$
\iiint_V (x^2+y^2+z^2)\,\mathrm{d}V = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\varphi\int_0^{\pi/2}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\int_0^a r^4\,\mathrm{d}r = 2\pi\cdot 1\cdot \frac{a^5}{5} = \frac{2\pi a^5}{5}.
$$
公式：球坐标变换：$\mathrm{d}V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi$
提示：注意 $\theta$ 范围是 $0$ 到 $\pi/2$，因为上半球体。
步骤 5/6
目标：计算补面上的曲面积分
在 $\Sigma_1$ 上，$z=0$，方向向下。由于 $z$ 常数，$\mathrm{d}z=0$，所以 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 和 $\mathrm{d}z\mathrm{d}x$ 项为零。只有 $R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 项。方向向下时，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -\mathrm{d}S = -\mathrm{d}x\mathrm{d}y$（投影面积元），因此
$$
\iint_{\Sigma_1} R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{x^2+y^2\leq a^2} (0\cdot x^2+a^3)(-\mathrm{d}x\mathrm{d}y) = -a^3\iint_{x^2+y^2\leq a^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y = -a^3\cdot \pi a^2 = -\pi a^5.
$$
公式：有向投影面积元：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \cos\gamma\,\mathrm{d}S$，向下时 $\cos\gamma=-1$
提示：注意方向向下时 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 为负，积分时需加负号。
步骤 6/6
目标：计算原曲面积分
由高斯公式，
$$
\iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} = \frac{2\pi a^5}{5},
$$
而 $\iint_{\Sigma_1} = -\pi a^5$，所以
$$
\iint_{\Sigma} = \iint_{\Sigma\cup\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_1} = \frac{2\pi a^5}{5} - (-\pi a^5) = \frac{2\pi a^5}{5} + \pi a^5 = \frac{7\pi a^5}{5}.
$$
提示：注意减去补面时，由于补面方向与封闭曲面外侧相反，实际是减去补面的积分值。
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