哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解命题
题目给出条件：对于数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$，总有 $a_n < b_n$，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛。结论是 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。我们需要判断这个命题是否正确。
提示：注意比较判别法的条件是 $0 \leq a_n \leq b_n$，而这里只有 $a_n < b_n$，没有非负条件。
步骤 2/7
目标：分析命题条件
比较判别法要求 $a_n \geq 0$ 且 $a_n \leq b_n$ 才能由 $\sum b_n$ 收敛推出 $\sum a_n$ 收敛。但本题中 $a_n$ 可能为负数，因此不能直接应用比较判别法。
提示：注意比较判别法的前提是正项级数。
步骤 3/7
目标：构造反例思路
要证明命题不正确，需要构造一个反例：存在数列 $a_n < b_n$，$\sum b_n$ 收敛，但 $\sum a_n$ 发散。由于 $a_n$ 可以取负值，我们可以让 $a_n$ 为负的调和级数项，而 $b_n$ 为收敛的正项级数项，例如 $p$-级数。
提示：注意 $a_n$ 必须小于 $b_n$，所以 $a_n$ 要足够小（负得足够大）。
步骤 4/7
目标：具体反例
取 $a_n = -\frac{1}{n}$，$b_n = \frac{1}{n^2}$。对于 $n \geq 2$，有 $-\frac{1}{n} < \frac{1}{n^2}$，因为 $\frac{1}{n^2} + \frac{1}{n} > 0$；当 $n=1$ 时，$a_1 = -1 < 1 = b_1$。所以 $a_n < b_n$ 对所有 $n$ 成立。
提示：验证 $n=1$ 时条件是否成立。
步骤 5/7
目标：验证 $\sum b_n$ 收敛
$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是 $p$-级数，$p=2>1$，因此收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 当 $p>1$ 时收敛
提示：记住 $p$-级数的收敛条件。
步骤 6/7
目标：验证 $\sum a_n$ 发散
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是负的调和级数，调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，乘以非零常数仍发散，因此 $\sum a_n$ 发散。
公式：调和级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散
提示：调和级数发散是常见结论。
步骤 7/7
目标：得出结论
存在反例满足条件但结论不成立，因此原命题不正确。
提示：反例法证明命题错误只需一个反例。
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