哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题

级数通项为 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \sqrt{\ln\left(\frac{n+1}{n}\right)}$。注意到 $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$，因此 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$。

令 $t = \frac{1}{n}$，则 $\sqrt{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = \sqrt{t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)} = \sqrt{t}\sqrt{1 - \frac{t}{2} + O(t^2)}$。利用 $\sqrt{1+u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots$，其中 $u = -\frac{t}{2} + O(t^2)$，得 $\sqrt{1 - \frac{t}{2} + O(t^2)} = 1 - \frac{t}{4} + O(t^2)$。因此 $\sqrt{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} = \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1 - \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right)$。于是 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n}}\left(1 - \frac{1}{4n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = \frac{1}{4 n^{3/2}} + O\left(\frac{1}{n^{5/2}}\right)$。

由 $a_n \sim \frac{1}{4 n^{3/2}}$ 且 $a_n > 0$（当 $n$ 充分大时），而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 是 $p$-级数（$p=3/2>1$），故收敛。由比较判别法，原级数收敛。

利用不等式：当 $x>0$ 时，$\ln(1+x) > \frac{x}{1+x/2}$。取 $x = 1/n$，得 $\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > \frac{1/n}{1+1/(2n)} = \frac{1}{n+1/2}$。于是 $\sqrt{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} > \frac{1}{\sqrt{n+1/2}}$。因此 $a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} - \sqrt{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)} < \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1/2}}$。

由于 $\sqrt{n+1/2} < \sqrt{n+1}$，所以 $\frac{1}{\sqrt{n+1/2}} > \frac{1}{\sqrt{n+1}}$，从而 $\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1/2}} < \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。因此 $a_n < \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}}$。

对 $n$ 从 $1$ 到 $N$ 求和：$\sum_{n=1}^{N} a_n < \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} \right) = 1 - \frac{1}{\sqrt{N+1}}$。令 $N \to \infty$，得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le 1$。由于 $a_n > 0$ 且放缩是严格的，故级数和严格小于 $1$。