哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定函数连续性和符号条件
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且满足 $f(a) \cdot f(b) < 0$。不妨设 $f(a) > 0$，$f(b) < 0$（若相反，则同理可证）。
提示：注意零点定理的条件：函数必须连续，且端点函数值异号。
步骤 2/7
目标：构造集合并求上确界
定义集合 $S = \{ x \in [a, b] \mid f(x) \geq 0 \}$。由于 $f(a) > 0$，故 $a \in S$，$S$ 非空且有上界 $b$，因此 $S$ 存在上确界，记 $\xi = \sup S$。
提示：上确界的存在性依赖于实数的完备性，注意 $\xi$ 可能等于 $b$，但后续会排除。
步骤 3/7
目标：利用连续性分析 $f(\xi)$ 的符号
由 $f$ 的连续性，$f(\xi) = \lim_{x \to \xi} f(x)$。考虑 $f(\xi)$ 的可能取值。
提示：连续性保证极限等于函数值。
步骤 4/7
目标：反证 $f(\xi) > 0$ 不可能
假设 $f(\xi) > 0$，则由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得对任意 $x \in (\xi - \delta, \xi + \delta)$ 有 $f(x) > 0$。特别地，取 $x = \xi + \frac{\delta}{2} > \xi$，则 $f(x) > 0$，故 $x \in S$，这与 $\xi$ 是 $S$ 的上确界矛盾（因为存在 $S$ 中元素大于 $\xi$）。
提示：注意上确界的定义：任何大于上确界的数都不属于 $S$。
步骤 5/7
目标：反证 $f(\xi) < 0$ 不可能
假设 $f(\xi) < 0$，则由连续性，存在 $\delta > 0$ 使得对任意 $x \in (\xi - \delta, \xi + \delta)$ 有 $f(x) < 0$。取 $x = \xi - \frac{\delta}{2} < \xi$，则 $f(x) < 0$，故 $x \notin S$。但 $\xi$ 是上确界，存在 $y \in S$ 满足 $y > \xi - \frac{\delta}{2}$，而 $f(y) \geq 0$，矛盾（因为 $y$ 在邻域内，应有 $f(y) < 0$）。
提示：注意上确界的性质：对任意 $\epsilon > 0$，存在 $y \in S$ 使得 $y > \xi - \epsilon$。
步骤 6/7
目标：得出 $f(\xi)=0$ 并确定 $\xi$ 在开区间内
由以上两步，$f(\xi)$ 既不能大于0也不能小于0，故 $f(\xi)=0$。又因为 $f(a)>0$，$f(b)<0$，所以 $\xi \neq a$ 且 $\xi \neq b$，因此 $\xi \in (a, b)$。
提示：注意排除端点，确保 $\xi$ 在开区间内。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，存在 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi)=0$。
提示：零点定理的证明完成。
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