哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续且有界，证明：$\displaystyle f(g(x))$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，若去掉＂$\displaystyle g(x)$ 有界＂，则 $\displaystyle f(g(x))$ 是否一致连续？正确请给出证明，错误请给出反例。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续且有界。设 $|g(x)| \leq M$。
提示：注意有界性条件：存在常数 $M>0$ 使得 $|g(x)| \leq M$ 对所有 $x$ 成立。
步骤 2/7
目标：利用连续函数在闭区间上的一致连续性
由于 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，故在闭区间 $[-M, M]$ 上一致连续。即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得对任意 $u, v \in [-M, M]$，当 $|u - v| < \delta_1$ 时，有 $|f(u) - f(v)| < \varepsilon$。
公式：一致连续定义：$\forall \varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \forall u,v\in[-M,M], |u-v|<\delta_1 \Rightarrow |f(u)-f(v)|<\varepsilon$
提示：注意闭区间上连续函数一定一致连续，这是关键。
步骤 3/7
目标：利用g的一致连续性得到δ
由于 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续，对上述 $\delta_1 > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in (-\infty,+\infty)$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|g(x_1) - g(x_2)| < \delta_1$。
公式：一致连续定义：$\forall \delta_1>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2, |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |g(x_1)-g(x_2)|<\delta_1$
提示：注意δ依赖于δ1，而δ1依赖于ε，最终δ只依赖于ε。
步骤 4/7
目标：结合两个一致连续性证明复合函数一致连续
对任意 $x_1, x_2$ 满足 $|x_1 - x_2| < \delta$，由 $g$ 的一致连续性得 $|g(x_1) - g(x_2)| < \delta_1$。又因为 $|g(x)| \leq M$，所以 $g(x_1), g(x_2) \in [-M, M]$。再由 $f$ 在 $[-M,M]$ 上的一致连续性得 $|f(g(x_1)) - f(g(x_2))| < \varepsilon$。因此 $f(g(x))$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续。
提示：注意这里用到了g的有界性保证g(x1),g(x2)落在闭区间内，从而f的一致连续性可用。
步骤 5/7
目标：讨论去掉有界条件的情况
若去掉“$g(x)$ 有界”，结论不一定成立。需要构造反例。
提示：反例需要满足f连续，g一致连续但无界，而f(g(x))不一致连续。
步骤 6/7
目标：给出反例
取 $f(x) = x^2$，$g(x) = x$。则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$g(x)=x$ 一致连续（因为满足Lipschitz条件）但无界。复合函数 $f(g(x)) = x^2$。证明 $x^2$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续：取 $\varepsilon = 1$，对任意 $\delta > 0$，取 $x_1 = n$，$x_2 = n + \frac{\delta}{2}$，则 $|x_1 - x_2| = \frac{\delta}{2} < \delta$，但 $|f(g(x_1)) - f(g(x_2))| = |n^2 - (n+\frac{\delta}{2})^2| = n\delta + \frac{\delta^2}{4} \to +\infty$ 当 $n \to \infty$，故 $|f(g(x_1)) - f(g(x_2))| > 1$ 对充分大的 $n$ 成立。因此 $x^2$ 不一致连续。
公式：不一致连续定义：$\exists \varepsilon_0>0, \forall \delta>0, \exists x_1,x_2, |x_1-x_2|<\delta$ 但 $|f(x_1)-f(x_2)|\geq \varepsilon_0$
提示：注意反例中g(x)=x是一致连续的，但无界；f(x)=x^2连续但非一致连续（在无界区间上）。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，在 $g(x)$ 有界条件下，$f(g(x))$ 一致连续；若去掉有界条件，结论不一定成立，反例为 $f(x)=x^2$，$g(x)=x$。
提示：注意区分充分条件和必要条件：有界性不是必要的，但缺少时结论可能不成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。