哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用有界导数条件
由题意，$f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界，故存在 $M>0$，使得对任意 $x \in (a,b)$，有 $|f'(x)| \leq M$。
提示：注意有界性的定义：存在一个正数M，使得所有导数值的绝对值不超过M。
步骤 2/7
目标：选定参考点
在区间 $(a,b)$ 内任取一定点 $x_0$，例如取 $x_0 = \frac{a+b}{2}$，则 $f(x_0)$ 是一个确定的实数。
提示：参考点可以任意选取，但必须是区间内的一个固定点。
步骤 3/7
目标：应用拉格朗日中值定理
对任意 $x \in (a,b)$，函数 $f$ 在区间 $[x_0,x]$（或 $[x,x_0]$）上满足拉格朗日中值定理条件，故存在介于 $x$ 与 $x_0$ 之间的 $\xi$，使得 $f(x)-f(x_0)=f'(\xi)(x-x_0)$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$，其中 $\xi$ 介于 $a$ 与 $b$ 之间。
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，但不必具体写出。
步骤 4/7
目标：估计 $f(x)$ 的绝对值
由上式得 $|f(x)-f(x_0)| = |f'(\xi)| \cdot |x-x_0| \leq M |x-x_0|$。
公式：绝对值不等式：$|u+v| \leq |u|+|v|$
提示：注意 $|f'(\xi)| \leq M$ 是关键。
步骤 5/7
目标：放缩 $|x-x_0|$
由于 $x$ 和 $x_0$ 都在 $(a,b)$ 内，所以 $|x-x_0| < b-a$，因此 $|f(x)-f(x_0)| \leq M(b-a)$。
提示：注意区间长度是 $b-a$，但 $x$ 和 $x_0$ 可能接近端点，所以严格小于 $b-a$。
步骤 6/7
目标：得到 $f(x)$ 的有界性
于是 $|f(x)| = |f(x_0) + (f(x)-f(x_0))| \leq |f(x_0)| + |f(x)-f(x_0)| \leq |f(x_0)| + M(b-a)$。
公式：三角不等式：$|u+v| \leq |u|+|v|$
提示：注意 $|f(x_0)|$ 是常数，$M(b-a)$ 也是常数，所以 $f(x)$ 有界。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，对任意 $x \in (a,b)$，$|f(x)| \leq |f(x_0)| + M(b-a)$，即 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界。
提示：有界性的定义：存在常数 $C$ 使得 $|f(x)| \leq C$ 对所有 $x$ 成立。这里 $C = |f(x_0)| + M(b-a)$。
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