哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．若积分 $\int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 至少有两个零点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：补充条件并构造辅助函数
假设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。定义辅助函数 $F(x)=\int_a^x t f(t)\,dt$，则 $F(a)=0$，且由已知条件 $\int_a^b x f(x)\,dx=0$ 得 $F(b)=0$。由微积分基本定理，$F'(x)=x f(x)$，且 $F$ 在 $[a,b]$ 上可导。
公式：$F(x)=\int_a^x t f(t)\,dt$，$F'(x)=x f(x)$
提示：注意 $f$ 的连续性保证了 $F$ 的可导性，这是应用罗尔定理的前提。
步骤 2/5
目标：应用罗尔定理得到第一个零点
由于 $F(a)=F(b)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (a,b)$ 使得 $F'(\xi_1)=0$，即 $\xi_1 f(\xi_1)=0$。若 $\xi_1 \neq 0$，则 $f(\xi_1)=0$，得到第一个零点。若 $\xi_1=0$，则 $0 \in (a,b)$，此时 $f(0)$ 不一定为零，需要进一步处理。
公式：$\xi_1 f(\xi_1)=0$
提示：当区间包含原点时，$\xi_1$ 可能为0，不能直接推出 $f(\xi_1)=0$，需分情况讨论。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：区间不包含原点的情况
假设 $a>0$（或 $b<0$），则区间内 $x$ 恒正（或恒负），因此 $\xi_1 \neq 0$，从而 $f(\xi_1)=0$。此时在 $[a,\xi_1]$ 上再次应用罗尔定理：由于 $F(a)=F(\xi_1)=0$，存在 $\xi_2 \in (a,\xi_1)$ 使得 $F'(\xi_2)=0$，即 $\xi_2 f(\xi_2)=0$，同样 $\xi_2 \neq 0$，故 $f(\xi_2)=0$。$\xi_2$ 与 $\xi_1$ 不同，得到两个零点。
公式：$\xi_2 \in (a,\xi_1)$，$\xi_2 f(\xi_2)=0$
提示：注意 $\xi_2$ 严格介于 $a$ 和 $\xi_1$ 之间，与 $\xi_1$ 不同。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：区间包含原点的情况
若 $a<0
公式：$\int_a^b x f(x)\,dx=0$ 与 $x$ 的单调性矛盾
提示：此情况较复杂，反证法思路：假设 $f$ 在 $(a,b)$ 内至多一个零点，则 $x f(x)$ 在区间内不变号或仅变号一次，其积分不可能为零，与已知矛盾。
步骤 5/5
目标：总结结论
在 $f(x)$ 于 $[a,b]$ 上连续的条件下，由 $\int_a^b x f(x)\,dx=0$ 可推出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内至少有两个零点。
提示：注意题目未明确给出 $f$ 的连续性，但通常默认连续，否则结论不成立。
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