哈尔滨工业大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是：对任意的正整数 $p$ ，有
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\lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件
题目声称：数列 $\{a_n\}$ 收敛的充要条件是：对任意正整数 $p$，有 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。我们需要判断该命题是否正确。
提示：注意区分逐点收敛与一致收敛。
步骤 2/6
目标：必要性证明
假设 $\{a_n\}$ 收敛于 $a$，则对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|a_n-a|<\varepsilon/2$。于是对任意正整数 $p$，当 $n>N$ 时，$n+p>N$，从而 $|a_{n+p}-a_n|\leq |a_{n+p}-a|+|a_n-a|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$，故 $\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。必要性成立。
公式：$|a_{n+p}-a_n|\leq |a_{n+p}-a|+|a_n-a|$
提示：注意 $p$ 是任意固定的正整数，$N$ 的选取与 $p$ 无关。
步骤 3/6
目标：尝试证明充分性
假设对任意 $p$，$\lim_{n\to\infty}|a_{n+p}-a_n|=0$。要证 $\{a_n\}$ 收敛，通常思路是证明它是柯西列。但条件只保证对每个固定的 $p$ 极限为0，不能保证对任意 $p$ 一致地小。
提示：柯西准则要求：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得对所有 $m,n>N$ 有 $|a_m-a_n|<\varepsilon$。
步骤 4/6
目标：构造反例
考虑数列 $a_n=\ln n$。对任意固定正整数 $p$，$|a_{n+p}-a_n|=\ln\left(1+\frac{p}{n}\right)\to 0$（当 $n\to\infty$），满足条件。但 $\ln n\to\infty$，数列发散。因此充分性不成立。
公式：$\ln(n+p)-\ln n=\ln(1+p/n)$
提示：反例需验证条件：对每个固定的 $p$，极限为0。
步骤 5/6
目标：分析反例的收敛性
由于 $\lim_{n\to\infty}\ln n=+\infty$，数列 $\{\ln n\}$ 不收敛（发散到无穷）。因此原命题的充分性错误。
提示：发散到无穷也是不收敛。
步骤 6/6
目标：总结命题正确性
原命题是错的。正确的充要条件是：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，使得当 $n>N$ 时，对任意正整数 $p$，有 $|a_{n+p}-a_n|<\varepsilon$（即一致收敛于0），这等价于柯西收敛准则。
提示：注意区分“对每个 $p$ 成立”与“对任意 $p$ 一致成立”。
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