哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 与 $(b, c)$ 均一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b) \cup(b, c)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析命题
题目声称：若函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 与 $(b,c)$ 上均一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a,b)\cup(b,c)$ 上一致连续。我们需要判断该命题的真假。
提示：注意一致连续的定义：对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x,y$ 在定义域内且 $|x-y|<\delta$，有 $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$。
步骤 2/4
目标：构造反例
取 $a=0,b=1,c=2$。定义函数 $f(x)=\begin{cases}0, & x\in(0,1)\\1, & x\in(1,2)\end{cases}$。该函数在 $(0,1)$ 和 $(1,2)$ 上均为常数函数，因此一致连续。
提示：常数函数一定一致连续，因为对任意 $\varepsilon>0$，可取任意 $\delta>0$，都有 $|f(x)-f(y)|=0<\varepsilon$。
步骤 3/4
目标：验证反例的不一致连续性
考虑点列 $x_n=1-\frac{1}{n}\in(0,1)$，$y_n=1+\frac{1}{n}\in(1,2)$，其中 $n\geq2$。则 $|x_n-y_n|=\frac{2}{n}\to0$，但 $|f(x_n)-f(y_n)|=|0-1|=1$ 不趋于 $0$。因此，对 $\varepsilon=1$，不存在 $\delta>0$ 使得当 $|x-y|<\delta$ 时 $|f(x)-f(y)|<1$，故 $f$ 在 $(0,1)\cup(1,2)$ 上不一致连续。
提示：注意 $b$ 不在定义域内，但可以取分别从左右两侧趋近 $b$ 的点列，其距离趋于 $0$ 而函数值差固定。
步骤 4/4
目标：得出结论
该反例表明，原命题不一定成立，即 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 与 $(b,c)$ 上一致连续不能推出 $f(x)$ 在 $(a,b)\cup(b,c)$ 上一致连续。
提示：注意：如果 $f$ 在 $b$ 处有定义且连续，则结论可能成立，但题目中 $b$ 不在定义域内。
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