📝 哈尔滨工业大学 2026年数学分析真题

1．函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 与 $(b, c)$ 均一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b) \cup(b, c)$ 上一致连续．

2．函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且在某点 $c \in(a, b)$ 处 $f^{\prime}(c)>0$ ，则存在邻域 $(c-\delta, c+\delta)$ 使得 $f(x)$ 在该邻域单调递增．

3．设函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导且 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ．

4．设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{\sqrt{n}}$ 收玫．

5．设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的所有方向极限都存在且相等，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．

七．设函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}, x \in(1,+\infty)$ ．
（1）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续．
（2）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可微．
（3）$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上是否一致连续？说明理由．

三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域上二阶可微，且

$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{3} .
$$

求 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．

九．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+x y)}{x}, & x \neq 0 ; \\ y, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．

二．解答如下问题：

（1）证明：如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \delta_{x}>0$ 与 $\displaystyle M_{x}>0$ ，使得

$$
|f(t)|<M_{x}, \forall t \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right) \cap[a, b]
$$

则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）如果（1）中 $\displaystyle [a, b]$ 换成 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否成立？成立给出证明，不成立给出反例．
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上任意一点都存在极限，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否有界？肯定给出证明，否定给出反例．

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对某点 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(a)=0$ ，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为 0 ．

八．求极限 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{|x| \leq R,|y| \leq R}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

六．讨论级数 $\displaystyle \frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\cdots$ 的绝对收敛与条件收敛性．

十．计算曲面积分

$$
I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(2024 x^{2}+2025 y^{2}+2026 z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}
$$

其中 $S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，设 $\displaystyle \varepsilon_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \varepsilon_{n}$ ．