哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题

题目给出：函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处的所有方向极限都存在且相等。方向极限是指沿任意直线方向 $\vec{v}=(\cos\theta,\sin\theta)$，极限 $\lim_{t\to 0} f(t\cos\theta, t\sin\theta)$ 存在且与 $\theta$ 无关。问是否可推出二重极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 存在。

该命题是假的。因为方向极限相等不能保证沿曲线路径的极限存在或相等。需要构造反例。

定义函数： \[ f(x,y) = \begin{cases} 1, & \text{若 } y = x^2 \text{ 且 } x \neq 0, \\ 0, & \text{其他情况}. \end{cases} \] 该函数仅在抛物线 $y=x^2$（除原点外）上取值为1，其余点取0。

考虑任意方向 $\vec{v}=(\cos\theta,\sin\theta)$，沿直线 $x=t\cos\theta, y=t\sin\theta$ 趋于 $(0,0)$。 - 若 $\sin\theta \neq 0$，则当 $t$ 充分小时，$t\sin\theta \neq (t\cos\theta)^2$（因为 $t\sin\theta$ 是 $t$ 的一阶，而 $t^2\cos^2\theta$ 是二阶），所以点 $(t\cos\theta, t\sin\theta)$ 不在抛物线 $y=x^2$ 上，故 $f=0$，极限为0。 - 若 $\sin\theta = 0$，则沿 $x$ 轴方向，$y=0$，此时 $y \neq x^2$（除非 $x=0$，但 $x\neq0$ 时 $0\neq x^2$），故 $f=0$，极限为0。 因此所有方向极限均为0，相等。

考虑沿曲线 $y=x^2$ 趋于 $(0,0)$，此时 $f(x,x^2)=1$（$x\neq0$），所以极限为1。而沿其他路径（如直线）极限为0。由于不同路径极限不同，二重极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)$ 不存在。

该反例表明：所有方向极限存在且相等不能保证二重极限存在。因为方向极限只覆盖直线路径，而二重极限要求所有路径。因此原命题错误。