哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．讨论级数 $\displaystyle \frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\cdots$ 的绝对收敛与条件收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出级数的一般形式
原级数为 $\frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\cdots$，可写成 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$，其中 $a_{2k-1} = \frac{1}{(2k-1)^p}$，$a_{2k} = \frac{1}{(2k)^q}$，$k=1,2,\ldots$。
公式：$a_{2k-1} = \frac{1}{(2k-1)^p}, \quad a_{2k} = \frac{1}{(2k)^q}$
提示：注意奇偶项指数不同，需分别处理。
步骤 2/6
目标：讨论绝对收敛性
级数绝对收敛当且仅当 $\sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^{n-1} a_n| = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2k-1)^p} + \frac{1}{(2k)^q} \right)$ 收敛。由于 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^p}$ 与 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^q}$ 分别收敛当且仅当 $p>1$ 和 $q>1$，因此原级数绝对收敛当且仅当 $p>1$ 且 $q>1$。
公式：$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k-1)^p}$ 收敛 $\iff p>1$，$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k)^q}$ 收敛 $\iff q>1$
提示：注意 $p$ 和 $q$ 必须同时大于1才绝对收敛。
步骤 3/6
目标：讨论条件收敛性：p=q>0的情况
当 $p=q>0$ 时，级数为 $\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{(2k-1)^p} - \frac{1}{(2k)^p} \right)$。利用中值定理或泰勒展开，有 $\frac{1}{(2k-1)^p} - \frac{1}{(2k)^p} \sim \frac{p}{(2k)^{p+1}}$，因此 $\sum \left( \frac{1}{(2k-1)^p} - \frac{1}{(2k)^p} \right)$ 收敛当且仅当 $p+1>1$，即 $p>0$，故对任意 $p>0$ 级数收敛。但绝对值级数 $\sum \left( \frac{1}{(2k-1)^p} + \frac{1}{(2k)^p} \right)$ 发散当 $p \leq 1$，所以当 $0 < p = q \leq 1$ 时级数条件收敛；当 $p=q>1$ 时绝对收敛。
公式：$\frac{1}{(2k-1)^p} - \frac{1}{(2k)^p} \sim \frac{p}{(2k)^{p+1}}$
提示：注意 $p=q$ 时级数收敛，但绝对收敛性取决于 $p$ 是否大于1。
步骤 4/6
目标：讨论条件收敛性：p≠q且p,q>0的情况
当 $p \neq q$ 且 $p,q>0$ 时，考虑 $b_k = \frac{1}{(2k-1)^p}$，$c_k = \frac{1}{(2k)^q}$，则原级数为 $\sum_{k=1}^{\infty} (b_k - c_k)$。若 $p>q$，则当 $k$ 充分大时 $b_k - c_k \sim -\frac{1}{(2k)^q}$，故 $\sum (b_k - c_k)$ 发散当 $q \leq 1$；若 $p 1$，则 $p>1$ 且 $q>1$，已绝对收敛。
公式：$b_k - c_k \sim \begin{cases} -\frac{1}{(2k)^q}, & p>q \\ \frac{1}{(2k)^p}, & p
提示：注意 $p \neq q$ 时级数发散，除非 $p,q$ 均大于1（此时绝对收敛）。
步骤 5/6
目标：讨论p≤0或q≤0的情况
若 $p \leq 0$ 或 $q \leq 0$，则通项 $a_n$ 不趋于0，级数发散。例如，$p \leq 0$ 时，$\frac{1}{(2k-1)^p}$ 不趋于0。
提示：注意级数收敛的必要条件是通项趋于0。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述：
- 绝对收敛当且仅当 $p>1$ 且 $q>1$。
- 条件收敛当且仅当 $p=q$ 且 $0 < p = q \leq 1$。
- 其余情况发散。
提示：注意 $p=q=1$ 是条件收敛的典型例子。
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