哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对某点 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，有 $\displaystyle f(a)=0$ ，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq|f(x)|$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上恒为 0 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造辅助函数
令 $F(x) = f^2(x)$，则 $F(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上可微，且 $F(a)=0$。
公式：$F(x) = f^2(x)$
提示：注意 $f(x)$ 可微，故 $f^2(x)$ 也可微。
步骤 2/6
目标：求导并利用条件放缩
求导得 $F'(x) = 2f(x)f'(x)$。由条件 $|f'(x)| \leq |f(x)|$，有 $|F'(x)| = 2|f(x)||f'(x)| \leq 2f^2(x) = 2F(x)$。因此 $-2F(x) \leq F'(x) \leq 2F(x)$。
公式：$|F'(x)| \leq 2F(x)$
提示：注意绝对值不等式方向，不要遗漏负号。
步骤 3/6
目标：构造单调递减函数
考虑 $G(x) = e^{-2x}F(x)$，求导得 $G'(x) = e^{-2x}(F'(x) - 2F(x)) \leq 0$，故 $G(x)$ 单调递减。
公式：$G'(x) = e^{-2x}(F'(x) - 2F(x))$
提示：利用 $F'(x) \leq 2F(x)$ 得到 $G'(x) \leq 0$。
步骤 4/6
目标：构造单调递增函数
考虑 $H(x) = e^{2x}F(x)$，求导得 $H'(x) = e^{2x}(F'(x) + 2F(x)) \geq 0$，故 $H(x)$ 单调递增。
公式：$H'(x) = e^{2x}(F'(x) + 2F(x))$
提示：利用 $F'(x) \geq -2F(x)$ 得到 $H'(x) \geq 0$。
步骤 5/6
目标：利用已知点确定函数值
由于 $F(a)=0$，得 $G(a)=0$，$H(a)=0$。对任意 $x > a$，由 $G$ 单调递减得 $G(x) \leq G(a)=0$，但 $G(x) \geq 0$，故 $G(x)=0$，即 $F(x)=0$。对任意 $x < a$，由 $H$ 单调递增得 $H(x) \leq H(a)=0$，但 $H(x) \geq 0$，故 $H(x)=0$，即 $F(x)=0$。
提示：注意 $G(x)$ 和 $H(x)$ 的非负性，以及单调性方向。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此对所有 $x \in (-\infty, +\infty)$，$F(x)=0$，即 $f^2(x)=0$，故 $f(x)=0$。
提示：平方为零意味着函数本身为零。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。