哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
二．解答如下问题：
（1）证明：如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \delta_{x}>0$ 与 $\displaystyle M_{x}>0$ ，使得
$$
|f(t)|<M_{x}, \forall t \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right) \cap[a, b]
$$
则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．
（2）如果（1）中 $\displaystyle [a, b]$ 换成 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否成立？成立给出证明，不成立给出反例．
（3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上任意一点都存在极限，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否有界？肯定给出证明，否定给出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解条件并构造开覆盖
由条件，对任意 $x \in [a, b]$，存在 $\delta_x > 0$ 和 $M_x > 0$，使得 $|f(t)| < M_x$ 对所有 $t \in (x-\delta_x, x+\delta_x) \cap [a, b]$ 成立。考虑开区间族 $\{ (x-\delta_x, x+\delta_x) \mid x \in [a, b] \}$，它们覆盖了闭区间 $[a, b]$。
提示：注意开区间与闭区间的交集仍为区间，且覆盖了整个闭区间。
步骤 2/6
目标：应用有限覆盖定理
由有限覆盖定理，存在有限个点 $x_1, x_2, \dots, x_n \in [a, b]$，使得 $[a, b] \subset \bigcup_{i=1}^n (x_i-\delta_{x_i}, x_i+\delta_{x_i})$。
公式：有限覆盖定理：闭区间上的任意开覆盖都有有限子覆盖。
提示：确保每个开区间对应一个点，且这些开区间覆盖整个闭区间。
步骤 3/6
目标：取最大界并证明有界
令 $M = \max\{ M_{x_1}, M_{x_2}, \dots, M_{x_n} \}$。对任意 $t \in [a, b]$，存在某个 $i$ 使得 $t \in (x_i-\delta_{x_i}, x_i+\delta_{x_i})$，从而 $|f(t)| < M_{x_i} \leq M$。因此 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。
提示：注意 $M$ 是有限个数的最大值，因此是有限数。
步骤 4/6
目标：分析开区间情形并给出反例
结论不成立。反例：考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x}$ 在区间 $(0, 1)$ 上。对任意 $x \in (0, 1)$，取 $\delta_x = \frac{x}{2}$，则当 $t \in (x-\delta_x, x+\delta_x) \cap (0,1)$ 时，$t > \frac{x}{2}$，所以 $|f(t)| = \frac{1}{t} < \frac{2}{x}$，即 $M_x = \frac{2}{x}$。但 $f$ 在 $(0,1)$ 上无界，因为当 $x \to 0^+$ 时 $f(x) \to +\infty$。
提示：注意开区间不满足有限覆盖定理，因为开区间不是紧集。
步骤 5/6
目标：利用极限存在性转化为局部有界性
由条件，对任意 $x \in [a, b]$，极限 $\lim_{t \to x} f(t)$ 存在（记为 $L_x$）。由极限的局部有界性，存在 $\delta_x > 0$，使得当 $t \in (x-\delta_x, x+\delta_x) \cap [a, b]$ 且 $t \neq x$ 时，$|f(t) - L_x| < 1$，从而 $|f(t)| < |L_x| + 1$。
公式：极限的局部有界性：若 $\lim_{t \to x} f(t) = L$，则存在 $\delta > 0$ 使得 $0<|t-x|<\delta$ 时 $|f(t)|<|L|+1$。
提示：注意 $t=x$ 时需单独处理，但 $f(x)$ 本身是实数。
步骤 6/6
目标：构造满足(1)条件的界
在 $x$ 点处，$f(x)$ 本身是一个实数，所以存在 $M_x = \max\{ |f(x)|, |L_x|+1 \}$，使得在 $(x-\delta_x, x+\delta_x) \cap [a, b]$ 上 $|f(t)| < M_x$。于是满足（1）的条件，由（1）知 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。
提示：注意 $M_x$ 取最大值确保覆盖所有点。
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