哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+x y)}{x}, & x \neq 0 ; \\ y, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确函数的定义域与分段情况
函数定义为：
\[
f(x,y) = \begin{cases}
\frac{\ln(1+xy)}{x}, & x \neq 0, \\
y, & x = 0.
\end{cases}
\]
定义域为所有使表达式有意义的点，即当 $x \neq 0$ 时需 $1+xy > 0$，当 $x=0$ 时直接取 $y$。因此定义域为 $\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \neq 0 \text{ 且 } 1+xy > 0\} \cup \{(0,y) \mid y \in \mathbb{R}\}$。
公式：f(x,y) = \begin{cases} \frac{\ln(1+xy)}{x}, & x \neq 0; \\ y, & x=0. \end{cases}
提示：注意对数函数的定义域要求 $1+xy > 0$，但题目默认在定义域内讨论，无需额外限制。
步骤 2/6
目标：证明非分界点处的连续性
当 $x_0 \neq 0$ 时，存在邻域使得 $x \neq 0$ 且 $1+xy > 0$。函数 $f(x,y) = \frac{\ln(1+xy)}{x}$ 由初等函数（对数、乘法、除法）复合而成，分母 $x \neq 0$，因此在其定义区域内连续。
公式：\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} \frac{\ln(1+xy)}{x} = \frac{\ln(1+x_0y_0)}{x_0} = f(x_0,y_0), \quad x_0 \neq 0
提示：初等函数在其定义域内连续，只需检查分母不为零且对数自变量为正。
步骤 3/6
目标：分析分界点处的连续性目标
关键点在于 $x=0$ 处。对于任意固定的 $y_0$，需证明：
\[
\lim_{(x,y)\to (0,y_0)} f(x,y) = f(0,y_0) = y_0.
\]
这包括沿 $x=0$ 的路径和 $x \neq 0$ 的路径。
公式：\lim_{(x,y)\to (0,y_0)} f(x,y) = y_0
提示：分段函数在分界点处的连续性需分别考虑不同路径的极限。
步骤 4/6
目标：沿 x=0 路径的极限
当 $x=0$ 时，$f(0,y)=y$，因此沿直线 $x=0$ 趋近 $(0,y_0)$ 时，有：
\[
\lim_{y\to y_0} f(0,y) = \lim_{y\to y_0} y = y_0.
\]
这与函数值一致。
公式：\lim_{y\to y_0} f(0,y) = y_0
提示：此路径直接由定义得到，无需复杂计算。
步骤 5/6
目标：沿 x≠0 路径的极限
当 $x \neq 0$ 时，$f(x,y) = \frac{\ln(1+xy)}{x}$。令 $t = xy$，则当 $(x,y)\to(0,y_0)$ 时，$t \to 0$。改写表达式：
\[
\frac{\ln(1+xy)}{x} = \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot y = \frac{\ln(1+t)}{t} \cdot y.
\]
利用重要极限 $\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$，得：
\[
\lim_{(x,y)\to(0,y_0), x\neq 0} \frac{\ln(1+xy)}{x} = 1 \cdot y_0 = y_0.
\]
公式：\lim_{t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1, \quad \frac{\ln(1+xy)}{x} = \frac{\ln(1+xy)}{xy} \cdot y
提示：注意 $xy$ 可能为0，但 $t\to 0$ 时极限仍成立；$y_0$ 可为任意实数，包括0。
步骤 6/6
目标：统一连续性结论
对于任意点 $(x_0,y_0)$：
- 若 $x_0 \neq 0$，由初等函数连续性知 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续。
- 若 $x_0 = 0$，由上述两步证明沿所有路径的极限均为 $f(0,y_0)=y_0$，故 $f$ 在 $(0,y_0)$ 连续。
因此，$f(x,y)$ 在其整个定义域上连续。
公式：\forall (x_0,y_0) \in \text{定义域}, \lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)
提示：连续性证明需覆盖所有点，分界点处需验证极限与函数值相等。
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