哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导且 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与待证结论
已知函数 $F(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上可导，且 $F'(x) = f(x)$ 对任意 $x \in [a, b]$ 成立。需要证明定积分 $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$。
公式：F'(x) = f(x), \quad x \in [a, b]
提示：注意可导性隐含连续性，这是后续使用中值定理的前提。
步骤 2/5
目标：对区间进行分割并应用拉格朗日中值定理
将区间 $[a, b]$ 任意分割为 $n$ 个小区间：$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b$，记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$。由于 $F$ 在每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上连续且可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\eta_i \in (x_{i-1}, x_i)$ 使得 $F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(\eta_i) \Delta x_i = f(\eta_i) \Delta x_i$。
公式：F(x_i) - F(x_{i-1}) = f(\eta_i) \Delta x_i
提示：中值定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，这里由可导性保证。
步骤 3/5
目标：求和并利用裂项相消
将 $i=1$ 到 $n$ 的等式相加：$\sum_{i=1}^n [F(x_i) - F(x_{i-1})] = \sum_{i=1}^n f(\eta_i) \Delta x_i$。左边是 telescoping sum，化简得 $F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n f(\eta_i) \Delta x_i$。
公式：F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n f(\eta_i) \Delta x_i
提示：裂项相消时注意中间项全部抵消，仅剩端点值。
步骤 4/5
目标：取极限得到定积分
令分割的最大子区间长度 $\|\Delta\| = \max\{\Delta x_i\} \to 0$（即 $n \to \infty$），则右端和式的极限就是定积分：$\lim_{\|\Delta\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\eta_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \, dx$。因此 $F(b) - F(a) = \int_a^b f(x) \, dx$。
公式：\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\|\Delta\| \to 0} \sum_{i=1}^n f(\eta_i) \Delta x_i
提示：定积分定义要求任意分割和任意取点，这里 $\eta_i$ 是特定取点，但极限存在且与取点无关。
步骤 5/5
目标：得出结论
由上述推导，我们证明了 $\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$，这正是牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理的一部分）。
公式：\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
提示：该公式建立了定积分与原函数之间的联系，是微积分计算的核心工具。
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