哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．求极限 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{|x| \leq R,|y| \leq R}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别积分区域与对称性
积分区域为正方形 $|x| \leq R, |y| \leq R$，被积函数 $f(x,y) = (x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)}$ 是径向对称的，即只依赖于 $r = \sqrt{x^2+y^2}$。因此考虑使用极坐标变换。
提示：注意积分区域是正方形，不是圆形，但极限 $R\to+\infty$ 时，正方形区域趋于全平面，而径向函数在全平面上的积分可用极坐标计算。
步骤 2/7
目标：将积分转化为极坐标形式
令 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，则 $x^2+y^2 = r^2$，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。积分区域 $|x|\leq R, |y|\leq R$ 在极坐标下不是简单的矩形，但考虑极限 $R\to+\infty$，积分区域趋于全平面 $\mathbb{R}^2$。因此原极限等于在全平面上的积分：
$$\lim_{R\to+\infty} \iint_{|x|\leq R,|y|\leq R} (x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{\mathbb{R}^2} (x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
公式：极坐标变换：$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$
提示：注意 $r$ 从 $0$ 到 $+\infty$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
步骤 3/7
目标：将二重积分化为累次积分
利用极坐标，全平面上的积分化为：
$$\iint_{\mathbb{R}^2} (x^2+y^2)e^{-(x^2+y^2)} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{+\infty} r^2 e^{-r^2} \cdot r \mathrm{d}r = \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} \mathrm{d}r.$$
提示：注意 $r^2 e^{-r^2}$ 乘以 $r$ 得到 $r^3 e^{-r^2}$，不要漏掉 $r$。
步骤 4/7
目标：计算角度部分的积分
角度部分独立：$\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi$。因此原积分化为：
$$2\pi \int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} \mathrm{d}r.$$
提示：角度积分很简单，但注意不要忘记乘以 $2\pi$。
步骤 5/7
目标：计算径向积分
计算 $I = \int_0^{+\infty} r^3 e^{-r^2} \mathrm{d}r$。令 $t = r^2$，则 $\mathrm{d}t = 2r\mathrm{d}r$，$r\mathrm{d}r = \frac{1}{2}\mathrm{d}t$，且 $r^3 = r^2 \cdot r = t \cdot r$，所以 $r^3 \mathrm{d}r = t \cdot r \mathrm{d}r = t \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} t \mathrm{d}t$。积分限：$r=0$ 时 $t=0$，$r\to+\infty$ 时 $t\to+\infty$。因此：
$$I = \int_0^{+\infty} \frac{1}{2} t e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_0^{+\infty} t e^{-t} \mathrm{d}t.$$
公式：换元法：$t = r^2$
提示：注意换元时 $\mathrm{d}r$ 与 $\mathrm{d}t$ 的关系，不要出错。
步骤 6/7
目标：计算Gamma函数积分
已知 $\int_0^{+\infty} t e^{-t} \mathrm{d}t = \Gamma(2) = 1! = 1$。因此 $I = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$。
公式：$\Gamma(n) = (n-1)!$，$\int_0^\infty t^{n-1}e^{-t}dt = \Gamma(n)$
提示：也可以直接分部积分：$\int_0^\infty t e^{-t} dt = 1$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
将径向积分结果代入：原积分 $= 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$。因此极限值为 $\pi$。
提示：最终结果是一个常数，与 $R$ 无关。
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