哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且在某点 $c \in(a, b)$ 处 $f^{\prime}(c)>0$ ，则存在邻域 $(c-\delta, c+\delta)$ 使得 $f(x)$ 在该邻域单调递增．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解命题并判断正误
题目给出命题：若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且在某点 $c \in (a,b)$ 处 $f'(c)>0$，则存在邻域 $(c-\delta, c+\delta)$ 使得 $f(x)$ 在该邻域单调递增。直觉上，导数大于0表明函数在该点上升，但单调性需要邻域内导数恒正。该命题可能错误，因为导数在一点为正不能保证附近导数也为正。
提示：注意：导数在一点的正负不能直接推出局部单调性，需要导数连续或至少局部保号。
步骤 2/6
目标：构造反例函数
考虑函数 $f(x) = \begin{cases} x + 2x^2 \sin\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$，定义在包含0的区间上，如 $[-1,1]$。该函数在 $x=0$ 处可导，且 $f'(0)=1>0$。
公式：f(x) = x + 2x^2 \sin\frac{1}{x} \quad (x \neq 0), \quad f(0)=0
提示：构造反例时，常用振荡函数如 $x^2 \sin(1/x)$ 来破坏单调性。
步骤 3/6
目标：验证函数可导性及导数在0点的值
当 $x \neq 0$ 时，$f'(x) = 1 + 4x \sin\frac{1}{x} - 2\cos\frac{1}{x}$。在 $x=0$ 处，用导数定义：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{x + 2x^2 \sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0} (1 + 2x \sin\frac{1}{x}) = 1$。因此 $f'(0)=1>0$。
公式：f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{x + 2x^2 \sin(1/x)}{x} = 1
提示：计算导数定义时，注意 $\lim_{x\to 0} x \sin(1/x)=0$。
步骤 4/6
目标：分析导数在0附近的符号变化
对于 $x \neq 0$，$f'(x) = 1 + 4x \sin\frac{1}{x} - 2\cos\frac{1}{x}$。当 $x$ 趋近于0时，$4x \sin(1/x)$ 项趋近于0，但 $-2\cos(1/x)$ 在 $-2$ 和 $2$ 之间振荡。因此 $f'(x)$ 在0附近会变号：例如，取 $x_n = \frac{1}{2n\pi}$，则 $\cos(1/x_n)=1$，$f'(x_n) = 1 + \frac{4}{2n\pi}\sin(2n\pi) - 2 = -1 + \frac{2}{n\pi}\cdot 0 = -1 < 0$；取 $x_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$，则 $\cos(1/x_n)=-1$，$f'(x_n) = 1 + \frac{4}{(2n+1)\pi}\sin((2n+1)\pi) + 2 = 3 + 0 = 3 > 0$。因此 $f'(x)$ 在0的任意邻域内既取正值又取负值。
公式：f'(x) = 1 + 4x \sin\frac{1}{x} - 2\cos\frac{1}{x}
提示：注意 $\cos(1/x)$ 在0附近振荡剧烈，导致导数变号。
步骤 5/6
目标：推导函数在0附近不单调
由于 $f'(x)$ 在0的任意邻域内变号，根据导数与单调性的关系，若函数在某区间内单调递增，则导数在该区间内非负。但这里存在点使 $f'(x)<0$，因此 $f(x)$ 在0的任何邻域内都不是单调递增的。实际上，$f(x)$ 在0附近振荡上升，但局部有下降。
提示：单调递增要求导数非负，但导数变号则函数不单调。
步骤 6/6
目标：总结反例并得出结论
函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，$f'(0)=1>0$，但在任何邻域 $(-\delta, \delta)$ 内 $f(x)$ 不单调递增。因此原命题错误。
提示：反例表明：一点导数大于0不能保证局部单调递增，需要导数在该点附近连续或至少保号。
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