哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，设 $\displaystyle \varepsilon_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \varepsilon_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出误差表达式
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续可微，定义 $\varepsilon_n = \int_0^1 f(x) \, dx - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)$。将积分区间 $[0,1]$ 等分为 $n$ 个子区间 $\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right]$，$k=1,\dots,n$，则 $\int_0^1 f(x) \, dx = \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \, dx$。于是 $n\varepsilon_n = n \sum_{k=1}^n \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx$。
提示：注意黎曼和取点 $x_k = k/n$，即右端点。
步骤 2/5
目标：在每个子区间上应用泰勒展开
对每个 $k$，在 $x = \frac{k}{n}$ 处将 $f(x)$ 泰勒展开到一阶：$f(x) = f\left(\frac{k}{n}\right) + f'\left(\frac{k}{n}\right) \left( x - \frac{k}{n} \right) + o\left( x - \frac{k}{n} \right)$。代入积分得 $\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left[ f(x) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right] dx = f'\left(\frac{k}{n}\right) \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( x - \frac{k}{n} \right) dx + \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} o\left( x - \frac{k}{n} \right) dx$。
公式：泰勒展开：$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + o(x-a)$
提示：余项 $o(x - k/n)$ 在积分后贡献 $o(1/n^2)$，需注意阶数。
步骤 3/5
目标：计算积分 $\int (x - k/n) dx$
计算 $\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} \left( x - \frac{k}{n} \right) dx = \left[ \frac{1}{2} \left( x - \frac{k}{n} \right)^2 \right]_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} = 0 - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{n} \right)^2 = -\frac{1}{2n^2}$。
公式：$\int (x-a) dx = \frac{1}{2}(x-a)^2$
提示：注意积分上下限代入时，上限 $x=k/n$ 得0，下限 $x=(k-1)/n$ 得 $(-1/n)^2$。
步骤 4/5
目标：代入并求和
将积分结果代入 $n\varepsilon_n$ 表达式：$n\varepsilon_n = n \sum_{k=1}^n \left[ f'\left(\frac{k}{n}\right) \left( -\frac{1}{2n^2} \right) + o\left( \frac{1}{n^2} \right) \right] = -\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n f'\left(\frac{k}{n}\right) + n \cdot n \cdot o\left( \frac{1}{n^2} \right)$。注意 $n \cdot n \cdot o(1/n^2) = o(1)$。
提示：求和时注意 $n$ 与 $1/n^2$ 相乘得 $1/n$，而 $o(1/n^2)$ 乘以 $n$ 得 $o(1/n)$，再乘以 $n$ 得 $o(1)$。
步骤 5/5
目标：取极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f'\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f'(x) dx = f(1)-f(0)$，且 $o(1) \to 0$。因此 $\lim_{n \to \infty} n\varepsilon_n = -\frac{1}{2} \int_0^1 f'(x) dx = -\frac{1}{2} (f(1)-f(0))$。
公式：黎曼和极限：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n g(k/n) = \int_0^1 g(x) dx$
提示：注意 $f'$ 连续保证黎曼和收敛到积分。
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