哈尔滨工业大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{\sqrt{n}}$ 收玫．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析命题正确性
题目声称：若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}$ 收敛。我们需要判断该命题是否成立。
提示：注意正项级数收敛的必要条件是 $a_n \to 0$，但 $a_n$ 趋于0的速度可能很慢。
步骤 2/6
目标：尝试直接比较法
由均值不等式 $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$，取 $a = a_n$，$b = \frac{1}{n}$，得 $\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{2} a_n + \frac{1}{2n}$。但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，因此该不等式无法推出 $\sum \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}$ 收敛。
公式：$\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$
提示：直接比较法失效，因为放缩后出现发散级数。
步骤 3/6
目标：尝试柯西-施瓦茨不等式
考虑部分和：$\sum_{n=1}^{N} \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}} \le \sqrt{ \sum_{n=1}^{N} a_n \cdot \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} }$。由于 $\sum a_n$ 收敛，其部分和有界，但 $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \to \infty$，因此该不等式无法得到部分和有界。
公式：$\left( \sum x_n y_n \right)^2 \le \left( \sum x_n^2 \right) \left( \sum y_n^2 \right)$
提示：柯西-施瓦茨不等式给出上界发散，无法证明收敛。
步骤 4/6
目标：构造反例
取 $a_n = \frac{1}{n \ln^2 n}$（$n \ge 2$）。由于 $\int_2^{\infty} \frac{dx}{x \ln^2 x} = \left[ -\frac{1}{\ln x} \right]_2^{\infty} = \frac{1}{\ln 2} < \infty$，由积分判别法知 $\sum a_n$ 收敛。
公式：积分判别法：若 $f(x)$ 非负递减，则 $\sum f(n)$ 与 $\int f(x) dx$ 同敛散。
提示：注意 $a_n$ 需为正项且级数收敛，$\frac{1}{n \ln^2 n}$ 是经典收敛级数。
步骤 5/6
目标：计算目标级数
计算 $\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n} \cdot \sqrt{n} \ln n} = \frac{1}{n \ln n}$（$n \ge 2$）。而 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散，因为 $\int_2^{\infty} \frac{dx}{x \ln x} = \left[ \ln \ln x \right]_2^{\infty} = \infty$。
公式：$\frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n \ln n}$
提示：注意 $\frac{1}{n \ln n}$ 是经典发散级数，由积分判别法可证。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，存在收敛的正项级数 $\sum a_n$ 使得 $\sum \frac{\sqrt{a_n}}{\sqrt{n}}$ 发散，故原命题不成立。
提示：反例构造是判断命题真伪的关键。
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